50% потребителей предпочитают покупать электронику онлайн. Случайно выбраны 8 человек. Найдите вероятность того, что онлайн предпочли (a) ровно 5, (b) больше 5, (c) не более 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем биномиальную модель и используем p = 0{,}5. Здесь $X\sim B(8,0.5)$ и

   $P(X=k)=\binom{8}{k}(0.5)^{k}(0.5)^{8-k}=\frac{\binom{8}{k}}{2^{8}}=\frac{\binom{8}{k}}{256}.$

   Так как $p=0.5$, степени $p$ и $1-p$ объединяются в $2^{-8}$, поэтому каждая вероятность — это просто биномиальный коэффициент, делённый на $256$.

2. 2

   Выпишем нужные коэффициенты. Восьмая строка треугольника Паскаля:

   $1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1,$

   Сумма этих чисел равна $256$, как и должно быть.

3. 3

   (a) Ровно пять.

   $P(5)=\frac{\binom{8}{5}}{256}=\frac{56}{256}=0.21875\approx 0.219.$

4. 4

   (b) Больше пяти. «Больше пяти» — это $k=6,7,8$ (без пятёрки):

   $P(X>5)=\frac{28+8+1}{256}=\frac{37}{256}=0.14453\approx 0.145.$

   Важна формулировка: если бы включили $k=5$, получилось бы $0.363$ вместо этого.

5. 5

   (c) Не более пяти, через дополнение. «Не более пяти» — это всё, кроме «больше пяти», поэтому дополнительное событие:

   $P(X\le 5)=1-P(X>5)=1-\frac{37}{256}=\frac{219}{256}=0.85547\approx 0.855.$

6. 6

   Проверим вычисления и симметрию. Два дополнительных ответа дают в сумме $0.145+0.855=1.000$ ✓. Кроме того, при $p=0.5$ распределение симметрично относительно среднего $np=4$, так что $P(X=5)=P(X=3)$ и $P(X>5)=P(X<3)$ — это быстрый способ заметить ошибку в коэффициентах.