В почтовой системе 20% писем — спам. 70% спама содержит слово «lottery», а среди обычных писем это слово встречается лишь в 12,5%. Получено письмо со словом «lottery». Какова вероятность, что оно — спам?

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим события и выпишем исходные данные. Пусть $G$ — «письмо является спамом», $N$ — «письмо не является спамом», $L$ — «в письме есть слово lottery». Даны вероятности:

   $P(G)=0.2,\qquad P(N)=0.8$
   $P(L\mid G)=0.7,\qquad P(L\mid N)=0.125$

   Обращаем внимание на направление условной вероятности: даны вероятности слова при известном типе письма, а требуется найти вероятность типа письма при известном слове. Для такого «переворота» условной вероятности и применяется формула Байеса.

2. 2

   Запишем формулу Байеса для искомой величины.

   $P(G\mid L)=\frac{P(L\mid G)\,P(G)}{P(L)}$

   В числителе — вероятность того, что письмо и спам, и содержит слово; в знаменателе — вероятность встретить слово вообще среди всех писем.

3. 3

   Вычислим знаменатель по закону полной вероятности. Любое письмо либо спам, либо нет, то есть событий $G$ и $N$ образуют разбиение:

   $P(L)=P(L\mid G)P(G)+P(L\mid N)P(N)=0.7\times 0.2+0.125\times 0.8$
   $P(L)=0.14+0.10=0.24$

   То есть примерно каждое четвёртое письмо содержит это слово — и основная доля таких писем приходится на гораздо больший объём обычной почты.

4. 4

   Подставим значения и упростим до точной дроби.

   $P(G\mid L)=\frac{0.14}{0.24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.5833$

5. 5

   Интерпретируем результат и проверим на здравый смысл. Появление слова увеличивает вероятность спама с априорных $20\%$ до примерно $58.3\%$ — это сильный признак, но не гарантия, ведь обычных писем изначально в четыре раза больше. Для проверки: если взять $1000$ писем, то $200$ из них — спам, из которых $140$ содержат слово, а из $800$ обычных писем слово встречается в $100$. Всего $240$ писем с этим словом, из них $140$ — спам: $140/240=7/12$, что совпадает с формулой.