Ежемесячные счета за воду: 40 $, 42 $, 40 $, 38 $, 48 $, 50 $, 58 $, 62 $, 56 $, 46 $, 44 $, 44 $ (январь–декабрь). Через сигма-нотацию найдите средний счёт за весь год, за первые шесть месяцев и за апрель–ноябрь.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем общий шаблон. Среднее по группе членов выражается так:

   $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=a}^{b} x_i, \qquad n = b - a + 1$

   Во всех трёх пунктах используется эта же формула; меняются только пределы $a$, $b$ — и, соответственно, $n$. Количество $n$ всегда пересчитывается по пределам, а не берётся из предыдущего пункта.

2. 2

   (a) Весь год: $i$ от 1 до 12.

   $\bar{x} = \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50+58+62+56+46+44+44}{12} = \frac{568}{12}$

   $= 47{,}3333\ldots = \$47{,}33$

3. 3

   (b) Первые шесть месяцев: $i$ от 1 до 6.

   $\bar{x} = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50}{6} = \frac{258}{6} = 43 = \$43{,}00$

4. 4

   (c) Апрель–ноябрь: $i$ от 4 до 11. Апрель — это $x_4$, ноябрь — $x_{11}$, значит $n = 11 - 4 + 1 = 8$ — восемь месяцев, а не семь. Ошибка на единицу здесь классическая:

   $\bar{x} = \frac{1}{8}\sum_{i=4}^{11} x_i = \frac{38+48+50+58+62+56+46+44}{8} = \frac{402}{8} = 50{,}25 = \$50{,}25$

5. 5

   Проверим суммы между собой. Первые шесть месяцев дают $258$, месяцы $4$–$11$ — $402$, за год — $568$. Проверка: месяцы $1$–$3$ дают $40+42+40 = 122$, месяц $12$ — $44$, значит $122 + 402 + 44 = 568$ ✓ — три блока полностью покрывают год.

6. 6

   Интерпретируем результат. Летний период (апрель–ноябрь) в среднем даёт \50{,}25$, что заметно выше как годового$$47{,}33$, так и зимне-весеннего полугодия$$43{,}00$ — это отражает пики расходов в июле и августе.