В игре камень-ножницы-бумага победа бумагой даёт 5 очков, камнем — 1, ножницами — 2, проигравший получает минус столько же. Какую смешанную стратегию выбрать? Чему равно значение игры?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем матрицу выигрышей. Пусть игрок по строкам выбирает камень, бумагу или ножницы с вероятностями $p$, $q$, $r$, где $p+q+r=1$ и все вероятности неотрицательны. Бумага бьёт камень ($+5$), камень бьёт ножницы ($+1$), ножницы бьют бумагу ($+2$), а проигрыш — это то же число с минусом. Игра нулевой суммы и симметрична — оба игрока имеют одинаковую матрицу, — что уже подсказывает: её значение должно быть $0$.

2. 2

   Вычислим математическое ожидание выигрыша по строкам против каждой чистой стратегии соперника.

   $E_{\text{rock}}=0\cdot p+5q-1\cdot r=5q-r,$
   $E_{\text{paper}}=-5p+0\cdot q+2r=-5p+2r,$
   $E_{\text{scissors}}=1\cdot p-2q+0\cdot r=p-2q.$

3. 3

   Запишем условие выравнивания. В смешанном равновесии противник должен быть безразличен ко всем трём ответам, иначе он бы перешёл на лучший и начал нас обыгрывать. Поэтому

   $5q-r=-5p+2r=p-2q=v,$

   вместе с $p+q+r=1$. Принцип «сделать противника безразличным» — основа всего метода.

4. 4

   Решим систему линейных уравнений. Из $5q-r=p-2q$ получаем $p=7q-r$. Подставим это в $p+q+r=1$:

   $(7q-r)+q+r=8q=1\;\Longrightarrow\;q=\tfrac18.$

   Из $5q-r=-5p+2r$ имеем $5p+5q=3r$; с $p=\tfrac78-r$ это даёт $\tfrac{35}{8}-5r+\tfrac58=3r$, значит $8r=5$ и $r=\tfrac58$, откуда $p=\tfrac78-\tfrac58=\tfrac14.$

5. 5

   Подставим значения и проверим. Подставляя в любое из выражений, $v=p-2q=\tfrac14-\tfrac14=0$. Проверим все три: $5q-r=\tfrac58-\tfrac58=0$ ✓, $-5p+2r=-\tfrac54+\tfrac54=0$ ✓, $p-2q=0$ ✓, и $p+q+r=\tfrac28+\tfrac18+\tfrac58=1$ ✓. Значение $0$ подтверждает симметрию, отмеченную в первом шаге.

6. 6

   Поясним смысл весов. Ножницы выбираются чаще всего ($\tfrac58$), хотя победа ими даёт только $2$ — потому что ножницы контрят бумагу, самое выгодное оружие соперника, и его нужно сдерживать. Бумага, дающая максимальный выигрыш, применяется реже всего ($\tfrac18$). В играх с выравниванием вероятность хода отражает не его собственную прибыльность, а то, насколько сильно нужно подавлять лучший вариант соперника.