Решите систему 100a + 10b + c = 5.9, 400a + 20b + c = 8.4, 900a + 30b + c = 10.4 относительно a, b и c.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала замечаем структуру, а не считаем в лоб. Коэффициенты — это $x^{2}$, $x$, $1$ при $x=10,20,30$, поэтому система означает ровно «провести $y=ax^{2}+bx+c$ через $(10,5.9)$, $(20,8.4)$, $(30,10.4)$». Так как $c$ входит во все три уравнения с коэффициентом $1$, вычитание соседних пар сразу его убирает.

2. 2

   Вычитаем первое уравнение из второго.

   $(400-100)a+(20-10)b=8.4-5.9\;\Longrightarrow\;300a+10b=2.5\;\Longrightarrow\;30a+b=0.25.$

3. 3

   Вычитаем второе уравнение из третьего.

   $(900-400)a+(30-20)b=10.4-8.4\;\Longrightarrow\;500a+10b=2\;\Longrightarrow\;50a+b=0.2.$

   Два упрощённых уравнения отличаются только коэффициентом при $a$, поэтому ещё одно вычитание доводит дело до $a$.

4. 4

   Находим $a$, затем $b$, затем $c$.

   $(50a+b)-(30a+b)=0.2-0.25\;\Longrightarrow\;20a=-0.05\;\Longrightarrow\;a=-0.0025.$

   Подставляем в $30a+b=0.25$: $-0.075+b=0.25$, значит $b=0.325$. Подставляем оба значения в первое исходное уравнение: $-0.25+3.25+c=5.9$, значит $c=2.9$.

5. 5

   Проверяем все три уравнения. При $a=-0.0025$, $b=0.325$, $c=2.9$: $100(-0.0025)+10(0.325)+2.9=-0.25+3.25+2.9=5.9$ ✓; $400(-0.0025)+20(0.325)+2.9=-1+6.5+2.9=8.4$ ✓; $900(-0.0025)+30(0.325)+2.9=-2.25+9.75+2.9=10.4$ ✓. Решение той же системы средствами линейной алгебры тоже даёт $(-0.0025,\,0.325,\,2.9)$. Отрицательное $a$ означает, что подобранная парабола направлена ветвями вниз, — это согласуется с данными, которые выросли сначала на $2.5$, а потом лишь на $2.0$.