В дорожном исследовании предсказано, что аварии на перекрёстках типа «крест», «Y» и «тройник» будут в соотношении 3:2:1. Среди 200 аварий на перекрёстках с равным потоком зафиксированы 116, 60 и 24 случая. Проведите хи-квадрат тест этого предсказания.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбирается подходящий критерий. Здесь рассматривается одна категориальная переменная (тип перекрёстка) и теоретическое распределение для сравнения, а не две переменные в таблице сопряжённости. Значит, применяется критерий согласия хи-квадрат, а не критерий независимости. Это важно, так как число степеней свободы здесь $k-1$, а не $(r-1)(c-1)$.

2. 2

   Вычисляются ожидаемые частоты на основе заданного соотношения. Всего $116+60+24=200$, а соотношение $3:2:1$ делит целое на шестые доли:

   $E_1=200\cdot\tfrac{3}{6}=100,\qquad E_2=200\cdot\tfrac{2}{6}=66.\overline{6},\qquad E_3=200\cdot\tfrac{1}{6}=33.\overline{3}.$

   Все ожидаемые частоты больше $5$, значит, приближение критерия хи-квадрат допустимо. Следует использовать точные дроби $\tfrac{200}{3}$ и $\tfrac{100}{3}$, а не округлённые $66,67$ и $33,33$, чтобы избежать накопления ошибок округления в статистике.

3. 3

   Вычисляется вклад каждой ячейки в $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$.

   $\frac{(116-100)^2}{100}=\frac{256}{100}=2.56,\qquad \frac{\left(60-\tfrac{200}{3}\right)^2}{\tfrac{200}{3}}=\frac{400/9}{200/3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{\left(24-\tfrac{100}{3}\right)^2}{\tfrac{100}{3}}=\frac{784/9}{100/3}=\frac{196}{75}.$

4. 4

   Складываются все вклады. Приводится к общему знаменателю $75$:

   $\chi^2=\frac{192}{75}+\frac{50}{75}+\frac{196}{75}=\frac{438}{75}=\frac{146}{25}=5.84.$

   Значение получается ровно $5,84$, а не округлённое. Обратите внимание, что категория «тройник» с наименьшей ожидаемой частотой даёт наибольший вклад ($2{,}613$), хотя абсолютное отклонение там меньше, чем избыток для «креста» — так проявляется вес $1/E$ в формуле.

5. 5

   Сравнивается с критическим значением. Категорий $k=3$, значит, степеней свободы $df=k-1=2$. Критическое значение при $\alpha=0.05$ — $\chi^2_{0.05,2}=5.991$. Для $df=2$ $p$-значение имеет замкнутую форму: $p=e^{-\chi^2/2}=e^{-2.92}\approx 0.054$.

6. 6

   Делаем вывод. Так как $5.84<5.991$ (или $p\approx 0.054>0.05$), оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет. Наблюдаемые частоты согласуются с предсказанным соотношением $3:2:1$ — хотя запас минимален, и стоит собрать больше данных для уточнения.