Выборка из N = 8 значений даёт сумму X = 48 и сумму X² = 351. Проверьте выборку против гипотетического среднего 2.00: найдите значение t, примите решение о нулевой гипотезе и вычислите размер эффекта.

Step-by-step solution

1. 1

   Среднее выборки берём прямо из суммы.

   $\bar X=\frac{\sum X}{N}=\frac{48}{8}=6$

   Сами исходные значения для $t$-критерия не нужны: $N$, $\sum X$ и $\sum X^{2}$ содержат всю информацию, которую использует критерий.

2. 2

   Применим вычислительную формулу для суммы квадратов отклонений. Определение $\sum(X-\bar X)^2$ потребовало бы отдельных значений, а алгебраически равная ему форма — нет:

   $SS=\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}=351-\frac{48^{2}}{8}=351-288=63$

   $s^{2}=\frac{SS}{N-1}=\frac{63}{7}=9\qquad\Longrightarrow\qquad s=3$

   Именно деление на $N-1$, а не на $N$, делает $s^2$ несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности, и оно же задаёт число степеней свободы, равное $7$.

3. 3

   Перейдём от стандартного отклонения к стандартной ошибке. Статистика критерия сравнивает среднее с $\mu_0$ в единицах того разброса, который был бы у выборочного среднего:

   $SE=\frac{s}{\sqrt N}=\frac{3}{\sqrt 8}=\frac{3}{2.8284}=1.0607$

4. 4

   Вычислим статистику $t$.

   $t=\frac{\bar X-\mu_0}{SE}=\frac{6-2}{1.0607}=3.771\qquad(df=N-1=7)$

   Если в списке вариантов ответа нет значения около $3.77$, правильный вариант — «ни один из перечисленных»; не подгоняйте округление под соседний пункт.

5. 5

   Сравним с критическими значениями при 7 степенях свободы. Двусторонние критические значения:

   $t_{.05}=2.365,\qquad t_{.01}=3.499,\qquad t_{.001}=5.408$

   Поскольку $3.771$ превышает $2.365$ и $3.499$, но не $5.408$, нулевая гипотеза отвергается на уровнях .05 и .01, но не на уровне .001. Точное двустороннее $p$-значение равно $0.0070$ — оно лежит между $.01$ и $.001$, ровно как и предсказывает это сравнение.

6. 6

   Укажем размер эффекта: одна лишь значимость его не даёт. Для одновыборочного критерия $d$ Коэна измеряет расстояние в единицах стандартного отклонения:

   $d=\frac{\bar X-\mu_0}{s}=\frac{6-2}{3}=1.33$

   По принятым ориентирам ($0.2$ — малый, $0.5$ — средний, $0.8$ — большой) это большой эффект. Обратите внимание: в $d$ стоит $s$, а не $SE$ — деление на $1.0607$ вместо $3$ просто воспроизвело бы значение $t$.