В коробке 5 красных и 7 синих шаров. Случайно выбирают 5 шаров без возвращения. Какова вероятность, что среди выбранных будет хотя бы один синий шар?

Step-by-step solution

1. 1

   Вычислим число всевозможных выборок. Всего в коробке $5+7=12$ шаров, выбор производится без возвращения и порядок не важен, значит, число всевозможных способов выбрать $5$ шаров равно $\binom{12}{5}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5!}=\frac{95040}{120}=792.$

2. 2

   Воспользуемся правилом дополнения. Чтобы найти вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один синий шар, пришлось бы складывать вероятности для случаев, когда синих шаров $1,2,3,4$ или $5$ — всего пять вариантов. Но проще рассмотреть противоположное событие: «ни одного синего шара», то есть все выбранные — красные. Тогда по правилу дополнения $P(\text{ хотя бы один синий })=1-P(\text{ ни одного синего })$ — это позволяет заменить пять вычислений одним.

3. 3

   Посчитаем число способов выбрать только красные шары. Красных шаров всего $5$, значит, чтобы выбрать только их, нужно взять все $5$ красных: $\binom{5}{5}\binom{7}{0}=1\cdot 1=1.$ Поэтому вероятность дополнения так мала — существует только один способ не выбрать ни одного синего шара.

4. 4

   Соберём итоговую вероятность. $P(\text{ ни одного синего })=\frac{1}{792},\qquad P(\text{ хотя бы один синий })=1-\frac{1}{792}=\frac{792-1}{792}=\frac{791}{792}.$

5. 5

   Поясним результат. $\tfrac{791}{792}=0.998737\ldots\approx 99,87\%$. Это логично: синих шаров больше, чем красных, а выбирается почти половина коробки, поэтому вероятность не вытянуть ни одного синего практически равна нулю.