Для выборки с результатами 1, 2, 3 найти 95-процентный доверительный интервал для среднего.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала вычислим суммы. $n = 3$, $\sum X = 6$, $\sum X^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. Отсюда:

   $\bar{X} = \frac{6}{3} = 2, \qquad SS = 14 - \frac{6^2}{3} = 14 - 12 = 2$

2. 2

   Находим $s$ и стандартную ошибку. Делим $SS$ на $n-1 = 2$:

   $s^2 = \frac{2}{2} = 1, \quad s = 1, \quad s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0.57735$

   Деление на $\sqrt{n}$ принципиально важно — если его опустить, получится самый широкий из неверных вариантов ниже.

3. 3

   Используем $t$, а не $z$, и определяем число степеней свободы. При $n = 3$ число степеней свободы $df = 2$, и двустороннее критическое значение для $95\%$:

   $t_{0.025,\,2} = 4.3027$

   Это намного больше, чем $z = 1.96$; при двух степенях свободы распределение Стьюдента имеет очень «тяжёлые хвосты».

4. 4

   Строим интервал.

   $\bar{X} \pm t\,s_{\bar{X}} = 2 \pm 4.3027 \times 0.57735 = 2 \pm 2.4841$

   $LL = -0.4841, \qquad UL = 4.4841$

   То есть интервал примерно от $-0.48$ до $4.48$.

5. 5

   Сравниваем с предложенными вариантами. Варианты $-2.30$ до $6.30$, $-0.43$ до $3.43$ и $1.20$ до $2.80$ не подходят. В частности, $-2.30$ до $6.30$ — это $2 \pm 4.3027 \times 1$, то есть то же $t$-значение, но умноженное на $s$, а не на $s_{\bar{X}}$, без деления на $\sqrt{3}$. Поскольку ни один вариант не совпадает с $(-0.48,\ 4.48)$, правильный ответ — «ни один из других вариантов не верен».

6. 6

   Интерпретируем ширину интервала. Интервал от отрицательного значения почти до $4.5$ при среднем $2$ — честная цена за $n = 3$: по трём наблюдениям невозможно точно определить среднее. Проверка: $4.3027 \times 0.57735 = 2.4841$, $2 - 2.4841 = -0.4841$, $2 + 2.4841 = 4.4841$ ✓.