Из мешка с картами, пронумерованными 1, 2, 3, пять раз с возвращением вытягивают карту и записывают результат. Полученные числа сортируют по убыванию: a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e. Найти вероятность того, что b = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём условие на язык подсчёта. При сортировке по убыванию $b$ — это второе по величине значение. Поскольку $3$ — наибольший возможный номер карты, $b=3$ возможно только тогда, когда среди пяти вытягиваний выпало не менее двух троек. (Если бы выпала ровно одна тройка, то $a=3$, а $b$ было бы $2$ или $1$.)

   $\{b=3\}=\{X\ge 2\},\qquad X=\#\text{ of }3\text{s}$

2. 2

   Определим распределение $X$. Вытягивания происходят с возвращением, поэтому $X\sim\text{Binomial}(n=5,\ p=\tfrac13)$.

3. 3

   Воспользуемся дополнением — так меньше слагаемых. Вместо того чтобы складывать $P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$, проще вычесть два малых случая:

   $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

4. 4

   Вычислим два вычитаемых слагаемых.

   $P(X=0)=\left(\frac23\right)^{5}=\frac{32}{243},\qquad P(X=1)=\binom51\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)^{4}=\frac{80}{243}$

5. 5

   Выполним вычитание.

   $P(b=3)=1-\frac{32}{243}-\frac{80}{243}=\frac{243-112}{243}=\frac{131}{243}\approx 0.539$

   $\boxed{\dfrac{131}{243}}$

6. 6

   Проверим на сопряжённом случае $b=1$. По аналогии, $b=1$ означает, что не более одной карты — это $2$ или $3$, то есть $\left(\tfrac13\right)^5+5\left(\tfrac23\right)\left(\tfrac13\right)^4=\tfrac{1+10}{243}=\tfrac{11}{243}$. Так как $b$ может быть только $1$, $2$ или $3$, остаётся $P(b=2)=1-\tfrac{131}{243}-\tfrac{11}{243}=\tfrac{101}{243}$, и сумма трёх вероятностей даёт $1$ — проверка выполнена.