В выборке из 36 участков среднее 48,00 акров, стандартное отклонение 46,44, минимум 7, Q1 18,02, медиана 32,50, Q3 57,48, максимум 248. Определите, симметрично ли распределение, и найдите выбросы по правилу 1,5 × IQR.

Step-by-step solution

1. 1

   (a) Сравним среднее и медиану. В симметричном распределении эти значения почти совпадают. Здесь

   $\text{mean}-\text{median}=48.00-32.50=15.50$

   что значительно по сравнению с межквартильным размахом. Среднее смещено выше медианы, что характерно для распределения с правой (положительной) скошенностью.

2. 2

   (a) Проверим по удалённости экстремумов. Максимум находится на $248-32.50=215.5$ выше медианы, а минимум — лишь на $32.50-7=25.5$ ниже неё. Это длинный правый «хвост» и короткий левый, что подтверждает скошенность вправо. Также отметим, что стандартное отклонение $46.44$ почти равно среднему, что типично для скошенных, неотрицательных данных.

3. 3

   (b) Найдём межквартильный размах. IQR отражает разброс средней половины данных и, в отличие от стандартного отклонения, не увеличивается из-за выбросов:

   $IQR=Q_3-Q_1=57.48-18.02=39.46$

4. 4

   (b) Построим границы (фенсы) по правилу $1.5\times IQR$. По этому правилу границы располагаются на полтора межквартильных размаха от квартилей:

   $1.5\times IQR=1.5\times39.46=59.19$

   $\text{lower fence}=Q_1-59.19=18.02-59.19=-41.17$
   $\text{upper fence}=Q_3+59.19=57.48+59.19=116.67$

   Отрицательная нижняя граница — это нормально для неотрицательных величин: значит, малые значения не могут быть выбросами.

5. 5

   (b) Проверим экстремальные значения относительно границ. Минимум $7$ лежит далеко выше нижней границы $-41.17$, значит, низких выбросов нет. Максимум $248$ значительно превышает верхнюю границу $116.67$ — он более чем на $4.8$ межквартильных размаха выше $Q_3$, поэтому максимум — выброс.

6. 6

   (c) Уточним, чего не хватает для полного boxplot. Пятичисловое описание фиксирует коробку ($Q_1$, медиану, $Q_3$) и показывает, что $248$ — отдельная точка-выброс. Но оно не сообщает, где заканчивается верхний «ус»: он должен дотягиваться до наибольшего значения, не превышающего $116.67$, а такого числа в таблице нет. Для этого нужны сами значения выборки (или хотя бы наибольшее невыбросное) — аналогично и для возможных значений между $116.67$ и $248$.