В коробке 15 предметов: 3 бракованных и 12 хороших. Случайно без возвращения выбирают 5. Найдите вероятность: (1) ровно 2 бракованных; (2) не менее 2 бракованных.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим общее число возможных выборок. Неупорядоченно выбирается $5$ предметов из $15$, то есть

   $\binom{15}{5}=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5!}=3003$

   равновероятных исходов. Поскольку выборка производится без возвращения, используется именно сочетание, а не степень.

2. 2

   (1) Найдём число благоприятных исходов. Ровно два бракованных — это выбор $2$ из $3$ бракованных и $3$ из $12$ хороших:

   $\binom{3}{2}\binom{12}{3}=3\times 220=660$

3. 3

   Вычислим вероятность и сократим дробь.

   $P(\text{ровно }2)=\frac{660}{3003}=\frac{20}{91}\approx 0.2198$

   (Обе части делятся на $33$.)

4. 4

   (2) Перечислим случаи для «не менее 2». Так как всего $3$ бракованных, «не менее $2$» — это либо ровно $2$, либо ровно $3$ бракованных. Дополнительных случаев нет, поэтому дополнять до противоположного события не требуется:

   $\binom{3}{3}\binom{12}{2}=1\times 66=66$

5. 5

   Сложим вероятности двух несовместимых случаев.

   $P(\text{не менее }2)=\frac{660+66}{3003}=\frac{726}{3003}=\frac{22}{91}\approx 0.2418$

   $\boxed{P(\text{ровно }2)=\tfrac{20}{91},\qquad P(\text{не менее }2)=\tfrac{22}{91}}$

6. 6

   Проверим, что сумма вероятностей всех вариантов равна 1. Возможны $0$, $1$, $2$ или $3$ бракованных: $\binom{3}{0}\binom{12}{5}=792$, $\binom{3}{1}\binom{12}{4}=1485$, $660$ и $66$. Сумма $792+1485+660+66=3003=\binom{15}{5}$ — все подсчёты верны.