Пусть (X, Y) имеет совместную плотность f(x, y) = cx при 0 < x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ x, и 0 в остальных случаях. Найдите c, обе маргинальные плотности и определите, независимы ли X и Y.

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним нормировку по треугольной области определения. Удобнее сначала интегрировать по $y$, так как $x$ в этом интеграле — константа:

   $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{x}cx\,dy\,dx=\int_{0}^{1}cx\cdot x\,dx=c\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{c}{3}=1$

   $c=3$

2. 2

   Найдём маргинальную плотность X. Зафиксируем $x\in(0,1]$ и проинтегрируем по $y$ на отрезке $0\le y\le x$:

   $f_X(x)=\int_{0}^{x}3x\,dy=3x\cdot x=3x^{2},\qquad 0<x\le 1$

3. 3

   Найдём маргинальную плотность Y. Зафиксируем $y\in[0,1]$; по области определения $x\ge y$, значит, $x$ меняется от $y$ до $1$:

   $f_Y(y)=\int_{y}^{1}3x\,dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}\right]_{y}^{1}=\frac32\left(1-y^{2}\right),\qquad 0\le y\le 1$

   Правильный выбор пределов интегрирования — $x$ от $y$ до $1$, а не от $0$ до $1$, здесь ключевой момент.

4. 4

   Проверим независимость перемножением маргиналов.

   $f_X(x)f_Y(y)=3x^{2}\cdot\frac32\left(1-y^{2}\right)=\frac92x^{2}\left(1-y^{2}\right)$

   Это не совпадает с $f(x,y)=3x$.

5. 5

   Укажем структурную причину. Даже до сравнения формул видно: область $0\le y\le x$ — это не прямоугольник, значит, диапазон $Y$ зависит от значения $X$. Для независимости область должна быть декартовым произведением.

   $\boxed{c=3;\ f_X(x)=3x^{2},\ f_Y(y)=\tfrac32\left(1-y^{2}\right);\ X\text{ и }Y\text{ не независимы} }$

6. 6

   Проверим, что обе маргинальные плотности интегрируются в 1. $\int_{0}^{1}3x^{2}dx=1$ ✓ и $\int_{0}^{1}\tfrac32\left(1-y^{2}\right)dy=\tfrac32\left(1-\tfrac13\right)=1$ ✓, что подтверждает найденные $c$ и пределы интегрирования.