В коробке 6 красных и 6 синих шаров. Случайно выбирают 6 шаров без возвращения. Какова вероятность, что среди них есть хотя бы один синий?

Step-by-step solution

1. 1

   Сразу переходим к дополнению. Событие «хотя бы один синий» включает случаи с ровно $1,2,3,4,5,6$ синими — это шесть отдельных подсчётов. Его дополнение — всего один случай: ни одного синего. Поэтому используем

   $P(\text{хотя бы один синий})=1-P(\text{нет синих})$

2. 2

   Считаем число всех возможных выборок. Всего $6+6=12$ шаров, порядок не важен, значит, количество способов выбрать шесть шаров равно

   $\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}=924$

3. 3

   Считаем число исходов, благоприятных дополнению. «Нет синих» означает, что все шесть выбранных шаров — красные. Красных шаров ровно $6$, значит, единственный способ — взять все красные:

   $\binom{6}{6}=1$

   Поэтому ответ так близок к $1$: только одна неудачная выборка из $924$.

4. 4

   Собираем вероятность.

   $P(\text{нет синих})=\frac{1}{924},\qquad P(\text{хотя бы один синий})=1-\frac{1}{924}=\frac{923}{924}$

5. 5

   Переводим в десятичную дробь и проверяем здравый смысл. $\dfrac{923}{924}=0.998918\ldots\approx99.89\%$. Это логично: чтобы выбрать половину шаров и не получить ни одного синего, нужно единственное идеальное сочетание только красных, поэтому почти полная уверенность — ожидаемый результат ✓.

6. 6

   Перепроверяем прямым суммированием. Если сложить гипергеометрические вероятности для $1$ до $6$ синих, получится $\frac{36+225+400+225+36+1}{924}=\frac{923}{924}$, что совпадает с результатом по правилу дополнения ✓.