Есть 8 одинаковых конфет и 4 одинаковых печенья, которые нужно раздать 3 детям (двум мальчикам и девочке). Сколькими способами это можно сделать, если (a) каждому ребёнку достаётся хотя бы по одному предмету каждого вида, (b) каждый ребёнок получает ровно четыре предмета, (c) девочка получает больше конфет, чем каждый из мальчиков, а мальчики получают поровну печений?

Step-by-step solution

1. 1

   Подготовим инструмент. Число способов разложить $n$ одинаковых предметов между $k$ различными детьми так, чтобы каждому досталось не менее $1$, равно $\binom{n-1}{k-1}$; если ноль допускается, то $\binom{n+k-1}{k-1}$. Конфеты и печенья раздаются независимо, поэтому в каждом пункте два числа перемножаются.

2. 2

   Пункт (a): каждому хотя бы по одному предмету каждого вида. Для конфет $\binom{8-1}{2}=\binom72=21$; для печений $\binom{4-1}{2}=\binom32=3$. Перемножая,

   $21\times 3=63.$

3. 3

   Пункт (b): каждый получает ровно четыре предмета. Здесь распределения уже не независимы — количество печений определяет количество конфет. Если ребёнок $i$ получил $k_i$ печений, то он получает $4-k_i$ конфет, и условие $\sum k_i=4$ автоматически даёт $\sum(4-k_i)=12-4=8$ конфет. Значит, достаточно подсчитать раздачи печений с допустимыми нулями:

   $\binom{4+2}{2}=\binom62=15.$

4. 4

   Пункт (c), печенья: мальчикам поровну. Если каждый мальчик получает $k$ печений, то девочке достаётся $4-2k$, откуда $k\in\{0,1,2\}$ — три возможности.

5. 5

   Пункт (c), конфеты: у девочки больше, чем у любого мальчика. Переберём по доле девочки $g$, при этом доли мальчиков в сумме дают $8-g$ и каждая меньше $g$:

   $g=4:3,\quad g=5:4,\quad g=6:3,\quad g=7:2,\quad g=8:1,$

   а $g\le 3$ невозможно: тогда мальчикам вдвоём нужно было бы $\ge 5$ конфет, причём каждому меньше $3$. Итого $3+4+3+2+1=13$ раздач конфет.

6. 6

   Соберём пункт (c) и подведём итог.

   $13\times 3=39.$

   Итак, три ответа: $\mathbf{63}$, $\mathbf{15}$ и $\mathbf{39}$. Прямой компьютерный перебор всех раздач воспроизводит каждое из этих чисел в точности.