Пусть (X, Y) имеют совместную плотность f(x, y) = A(2 − x − y) при 0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ x, и 0 в остальных случаях. (1) Найдите A. (2) Найдите P(2X − Y < 1). (3) Найдите F(1/2, 1/4) и F(1/2, −1).

Step-by-step solution

1. 1

   (1) Запишем условие нормировки на нужной области. Область определения — треугольник $0\le y\le x\le 1$, поэтому сначала интегрируем по $y$ от $0$ до $x$, затем по $x$ от $0$ до $1$:

   $\int_{0}^{x}(2-x-y)\,dy=\left[(2-x)y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=2x-x^{2}-\frac{x^{2}}{2}=2x-\frac32x^{2}$

2. 2

   Завершим нормировку.

   $A\int_{0}^{1}\left(2x-\tfrac32x^{2}\right)dx=A\left[x^{2}-\tfrac12x^{3}\right]_{0}^{1}=A\left(1-\tfrac12\right)=\frac{A}{2}=1$

   $\boxed{A=2}$

3. 3

   (2) Разделим область, где выполняется событие. Событие $2X-Y<1$ эквивалентно $y>2x-1$. Для $x\le\tfrac12$ нижняя граница $2x-1\le 0$, значит, весь слой $0\le y\le x$ подходит; для $x>\tfrac12$ — только $2x-1<y\le x$. Таким образом,

   $P=\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx$

   Разделение по $x=\tfrac12$ — ключевой момент этой задачи.

4. 4

   Вычислим оба интеграла. При $f=2(2-x-y)$,

   $\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx=\frac38,\qquad \int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx=\frac{5}{24}$

   $P\{2X-Y<1\}=\frac38+\frac{5}{24}=\frac{9+5}{24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.583$

5. 5

   (3) Вычислим F(1/2, 1/4). По определению $F(u,v)=P\{X\le u,\ Y\le v\}$, то есть нужно проинтегрировать плотность по части треугольника с $x\le\tfrac12$ и $y\le\tfrac14$. Эта область снова разбивается по $x=\tfrac14$:

   $F=\int_{0}^{1/4}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/4}^{1/2}\!\!\int_{0}^{1/4}f\,dy\,dx=\frac{7}{64}+\frac{3}{16}=\frac{7+12}{64}=\frac{19}{64}$

6. 6

   Вычислим F(1/2, −1) без интегрирования. Область определения требует $y\ge 0$, значит, событие $\{Y\le -1\}$ невозможно:

   $F\left(\tfrac12,-1\right)=0$

   $\boxed{A=2,\quad P\{2X-Y<1\}=\tfrac{7}{12},\quad F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=\tfrac{19}{64},\quad F\left(\tfrac12,-1\right)=0}$

7. 7

   Проверим полученные значения. Все ответы лежат в $[0,1]$ ✓. Поскольку $F(u,v)$ не убывает по каждому аргументу, $F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=0.297$ должно быть не больше $P\{X\le\tfrac12\}$; интегрируя, получаем $P\{X\le\tfrac12\}=\tfrac38=0.375$ ✓. А $P\{2X-Y<1\}=0.583$ больше $0.375$, как и должно быть, ведь событие $\{X\le\tfrac12\}$ полностью содержится в $\{2X-Y<1\}$.