В мешке 10 одинаковых шаров с номерами от 1 до 10. Случайно выбирают 3 шара и записывают их номера. Найдите (1) вероятность, что наименьший номер равен 5, и (2) вероятность, что наибольший номер равен 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Вычислим мощность пространства элементарных исходов. Все возможные тройки — это всевозможные подмножества из $3$ элементов множества $\{1,\ldots,10\}$, причём все они равновероятны:

   $\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$

2. 2

   Преобразуем условие «наименьший равен 5» в ограничение. Это означает, что $5$ обязательно входит в тройку, а два других числа строго больше $5$. Числа, большие $5$, — это $6,7,8,9,10$ (всего пять вариантов).

3. 3

   (1) Посчитаем подходящие тройки и найдём вероятность.

   $\binom{5}{2}=10\quad\Longrightarrow\quad P(\min=5)=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\approx 0.0833$

4. 4

   Преобразуем условие «наибольший равен 5». Теперь $5$ обязательно входит в тройку, а два других числа должны быть строго меньше $5$, то есть выбираются из $1,2,3,4$ (всего четыре варианта).

5. 5

   (2) Посчитаем подходящие тройки и найдём вероятность.

   $\binom{4}{2}=6\quad\Longrightarrow\quad P(\max=5)=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}=0.05$

   $\boxed{P(\min=5)=\tfrac{1}{12},\qquad P(\max=5)=\tfrac{1}{20}}$

6. 6

   Проверим распределение минимума по всем возможным значениям. Для $\min=k$ число подходящих троек равно $\binom{10-k}{2}$, поэтому сумма по $k=1,\ldots,8$ даёт $\binom92+\binom82+\cdots+\binom22=36+28+21+15+10+6+3+1=120$ — совпадает с общим числом троек. Асимметрия между двумя ответами объяснима: чисел больше $5$ больше, чем чисел меньше $5$, поэтому $5$ чаще оказывается наименьшим, чем наибольшим.