В коробке 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу одновременно вынимают шесть шаров. Какова вероятность того, что хотя бы 2 из них красные?

Step-by-step solution

1. 1

   Посчитаем число всех элементарных исходов. Шары вынимают все сразу, поэтому порядок не важен и любой набор из $6$ шаров среди $12$ равновозможен:

   $\binom{12}{6}=924.$

2. 2

   Перейдём к противоположному событию вместо пяти отдельных случаев. «Хотя бы $2$ красных» — это $2,3,4,5,6$ красных, то есть пять подсчётов. Противоположное событие охватывает всего два случая: $0$ красных или $1$ красный. Значит, считаем

   $P(\text{хотя бы }2\text{ красных})=1-P(0\text{ красных})-P(1\text{ красный}).$

   Всякий раз, когда у «хотя бы $k$» на другой стороне остаётся меньше случаев, дорога через дополнение короче.

3. 3

   Посчитаем наборы без красных шаров. Все шесть вынутых шаров должны быть синими, а синих ровно $6$, поэтому такой набор единственный:

   $\binom{6}{0}\binom{6}{6}=1\cdot 1=1.$

4. 4

   Посчитаем наборы ровно с одним красным шаром. Выбираем $1$ шар из $6$ красных и $5$ из $6$ синих; выборы независимы, поэтому перемножаем:

   $\binom{6}{1}\binom{6}{5}=6\cdot 6=36.$

   Вместе противоположное событие содержит $1+36=37$ исходов из $924$ возможных.

5. 5

   Вычтем и получим ответ.

   $P=1-\frac{37}{924}=\frac{924-37}{924}=\frac{887}{924}\approx 0.9600.$

   Дробь уже несократима ($924=2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 11$ не имеет общих множителей с $887$ — это простое число). Прямой перебор всех $924$ подмножеств даёт ровно $887$ наборов с двумя и более красными шарами, что подтверждает результат. Да и вероятность около $96\%$ выглядит естественно: вынуть половину коробки и почти полностью промахнуться мимо одного из цветов крайне маловероятно.