В классе по математике половина учеников получила 92 балла за тест. Несколько человек получили 54 балла, а остальные — 73. Какое утверждение о распределении верно?

Step-by-step solution

1. 1

   Введём обозначения. Пусть $N$ — чётное число учеников в классе: $\tfrac{N}{2}$ человек получили $92$ балла, $k \ge 1$ человек — $54$ балла, а $\tfrac{N}{2} - k$ — $73$ балла. Обозначение «несколько» как неизвестное $k$ позволяет рассматривать все возможные случаи.

2. 2

   Находим медиану. В порядке возрастания первые $k$ значений равны $54$, следующие $\tfrac{N}{2} - k$ — $73$, а последние $\tfrac{N}{2}$ — $92$. Позиция $\tfrac{N}{2}$ содержит $73$, а $\tfrac{N}{2}+1$ — $92$, поэтому

   $\text{медиана} = \frac{73 + 92}{2} = 82.5$

   и это не зависит от $k$.

3. 3

   Вычисляем среднее.

   $\text{среднее} = \frac{92\cdot\tfrac{N}{2} + 54k + 73\left(\tfrac{N}{2} - k\right)}{N} = \frac{82.5N - 19k}{N} = 82.5 - \frac{19k}{N}$

4. 4

   Сравниваем значения. При $k \ge 1$ поправка $-\tfrac{19k}{N}$ строго отрицательна:

   $\text{среднее} = 82.5 - \frac{19k}{N} < 82.5 = \text{медиана}$

   Распределение левостороннее — небольшой «хвост» из низких баллов уменьшает среднее, не влияя на медиану. Верен вариант C.

5. 5

   Проверяем остальные варианты. Вариант B неверен, так как среднее строго меньше $82.5$. В D знак неравенства перепутан. Вариант A также неверен: мода — это $92$ (у половины класса), а среднее не больше $82.5$, значит, среднее меньше моды, а не больше.

6. 6

   Проверим на числах. $N = 20$, $k = 3$: десять по $92$, три по $54$, семь по $73$ дают среднее $\tfrac{920 + 162 + 511}{20} = 79.65$ при медиане $82.5$. $N = 100$, $k = 7$: среднее $81.17$, медиана $82.5$. Оба случая подтверждают формулу $82.5 - \tfrac{19k}{N}$.