Пятнадцать участников взвешены до и после тренировочной программы. До (кг): 55,60, 56,80, 64,80, 100,50, 72,10, 100,40, 73,80, 77,70, 64,00, 108,60, 76,00, 77,00, 84,75, 67,85, 87,24. После (кг): 54,20, 55,30, 62,10, 100,30, 71,40, 98,70, 71,10, 73,00, 63,10, 104,80, 72,45, 69,00, 88,78, 70,24, 88,57. Найдите среднее и выборочное стандартное отклонение для каждого набора.

Step-by-step solution

1. 1

   Складываем значения каждого столбца и делим на $n=15$. Суммы равны $1167.14$ кг и $1143.04$ кг, поэтому

   $\bar x_{\text{before}}=\frac{1167.14}{15}=77.809\ \text{кг},\qquad \bar x_{\text{after}}=\frac{1143.04}{15}=76.203\ \text{кг}$

2. 2

   Выбираем формулу для выборки. Эти пятнадцать человек — выборка, поэтому сумму квадратов отклонений делим на $n-1=14$:

   $s=\sqrt{\frac{\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}}{n-1}}$

   Использование $n$ вместо $n-1$ занизило бы разброс — это частая ошибка при обработке подобных таблиц.

3. 3

   Вычисляем разброс в группе «до». Квадраты отклонений лежат в диапазоне от $(55.60-77.809)^2=493.3$ до $(108.60-77.809)^2=948.1$, а сумма

   $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3556.77$

   тогда

   $s_{\text{before}}=\sqrt{\frac{3556.77}{14}}=\sqrt{254.055}=15.939\ \text{кг}$

4. 4

   Вычисляем разброс в группе «после». Здесь $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3668.24$, значит

   $s_{\text{after}}=\sqrt{\frac{3668.24}{14}}=\sqrt{262.017}=16.187\ \text{кг}$

5. 5

   Записываем четыре результата.

   $\boxed{\text{До: }\bar x=77.81\ \text{кг},\ s=15.94\ \text{кг};\qquad \text{После: }\bar x=76.20\ \text{кг},\ s=16.19\ \text{кг}}$

6. 6

   Интерпретируем и отмечаем ограничения этих чисел. Среднее уменьшилось на $1.61$ кг, а разброс чуть вырос — группа не стала более однородной. Важно: это только описательные характеристики. Так как измерения парные (одни и те же люди), чтобы выяснить, значимо ли снижение на $1.61$ кг, нужен парный $t$-критерий по пятнадцати разностям, а не сравнение этих двух стандартных отклонений.