В выборке из N = 8 значений сумма X = 48 и сумма X² = 351. Каков индекс эффекта d для предполагаемого среднего 2,00?

Step-by-step solution

1. 1

   Определим нужную формулу. Для одной выборки индекс эффекта Коэна $d$ вычисляется как разность средних, делённая на выборочное стандартное отклонение:

   $d = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s}$

   Статистика $t$ делит на стандартную ошибку $s/\sqrt{N}$. Это наиболее частая ошибка — путать знаменатель: при $N=8$ ответ завышается примерно в $\sqrt{8} \approx 2{,}83$ раза.

2. 2

   Вычислим выборочное среднее.

   $\bar{X} = \frac{\sum X}{N} = \frac{48}{8} = 6.00$

3. 3

   Находим сумму квадратов по вычислительной формуле.

   $SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{N} = 351 - \frac{48^2}{8} = 351 - \frac{2304}{8} = 351 - 288 = 63$

4. 4

   Вычислим выборочное стандартное отклонение. Для выборки делим на $N-1 = 7$:

   $s^2 = \frac{SS}{N-1} = \frac{63}{7} = 9, \qquad s = \sqrt{9} = 3$

   Числа получаются целыми — это признак правильности вычислений суммы квадратов.

5. 5

   Делим разность средних на $s$.

   $d = \frac{6.00 - 2.00}{3} = \frac{4}{3} = 1.3333 \approx 1.33$

6. 6

   Интерпретируем и проверяем. По критериям Коэна $d = 0{,}2$ — малый эффект, $0{,}5$ — средний, $0{,}8$ — крупный, значит $1{,}33$ — это крупный эффект. Проверим на типичные ошибки: $3{,}77$ — это $t = \dfrac{4}{3/\sqrt{8}} = \dfrac{4}{1.06066} = 3.7712$ — то есть статистика $t$, а не индекс эффекта. Значение $1{,}25$ получилось бы при делении на стандартное отклонение по генеральной совокупности $\sqrt{63/8} = 2.80624$, то есть при использовании $N$ вместо $N-1$.