Дан набор A: 6, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 18 и набор B: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 17, 18. Оба имеют среднее 12. В каком наборе разброс больше?

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что общего у двух наборов. В каждом по $n = 17$ значений, сумма которых $204$, то есть среднее в обоих случаях ровно $12$. Минимум $6$, максимум $18$ — одинаковое среднее и одинаковый размах. Ни среднее, ни размах не позволяют сравнить вариативность, поэтому требуется стандартное отклонение.

2. 2

   Вычислим сумму квадратов отклонений для набора A. Отклонения от $12$ в основном равны $0$ или $\pm 1$, есть два выброса по $\pm 6$:

   $\sum (x-12)^2 = 36 + 2(4) + 3(1) + 0 + 3(1) + 2(4) + 36 = 94$

3. 3

   Вычислим сумму квадратов отклонений для набора B. Здесь значения равномерно идут от $6$ до $18$, отклонения: $-6, -5, -4, -3, -2, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6$:

   $\sum (x-12)^2 = 2(36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1) + 1 + 1 = 184$

4. 4

   Переведём суммы в стандартные отклонения генеральной совокупности. В обоих случаях делим на $n = 17$:

   $\sigma_A = \sqrt{\frac{94}{17}} = \sqrt{5.5294} \approx 2.35, \qquad \sigma_B = \sqrt{\frac{184}{17}} = \sqrt{10.8235} \approx 3.29$

5. 5

   Сравним и объясним разницу. Так как $3.29 > 2.35$, у набора B разброс больше. Структурно, в A большинство значений сосредоточено около $11$–$13$ с двумя крайними, а в B значения равномерно распределены по всему диапазону — поэтому типичное значение из B дальше от среднего $12$, чем из A, несмотря на одинаковые средние, размеры и размах.