66% взрослых в США мало доверяют газетам. Случайно выбраны 10 взрослых. Найдите вероятность, что число мало доверяющих: (a) ровно 5, (b) не менее 6, (c) менее 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим применимость биномиальной модели. Проводится $n=10$ независимых испытаний, в каждом из которых взрослый либо «мало доверяет», либо нет, при постоянной вероятности $p=0.66$. Значит, $X\sim B(10,0.66)$ и

   $P(X=k)=\binom{10}{k}(0.66)^{k}(0.34)^{10-k}.$

2. 2

   Пункт (a): ровно пять.

   $P(5)=\binom{10}{5}(0.66)^{5}(0.34)^{5}=252(0.12523)(0.00454)=0.143.$

3. 3

   Пункт (b): не менее шести. Складываем вероятности для $k=6$ до $k=10$:

   $P(X\ge 6)=0.23195+0.25729+0.18729+0.08079+0.01568=0.773.$

   Это большая «хвостовая» вероятность, так как математическое ожидание $np=6.6$ лежит внутри этого диапазона.

4. 4

   Пункт (c): решим, использовать ли дополнение. «Менее четырёх» — это $k=0,1,2,3$, то есть четыре слагаемых. Дополнение $P(X\ge 4)$ потребовало бы семи слагаемых, поэтому здесь выгоднее прямое суммирование. Дополнение удобно только тогда, когда нужное событие содержит больше случаев, чем противоположное.

5. 5

   Вычислим четыре слагаемых.

   $P(0)=(0.34)^{10}=0.0000206,\qquad P(1)=10(0.66)(0.34)^{9}=0.0004007,$
   $P(2)=45(0.66)^{2}(0.34)^{8}=0.0035005,\qquad P(3)=120(0.66)^{3}(0.34)^{7}=0.0181203.$

6. 6

   Сложим и округлим.

   $P(X<4)=0.0000206+0.0004007+0.0035005+0.0181203=0.02204\approx 0.022.$

   Значение мало, как и ожидалось: при математическом ожидании $6{,}6$ успехов получить три или меньше — это редкое событие в левом хвосте распределения.