Таблица задаёт вероятности 0, 1, 2, 3, 4 и 5 отсутствующих: 0,20; 0,18; 0,10; 0,25; 0,25; 0,02. Найдите среднее, дисперсию и вероятность того, что отсутствует более двух человек.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим корректность таблицы. Вероятности в распределении должны в сумме давать $1$:

   $0.20 + 0.18 + 0.10 + 0.25 + 0.25 + 0.02 = 1.00 \;\checkmark$

   Если бы сумма отличалась от $1$, дальнейшие вычисления не имели бы смысла, поэтому этот шаг обязателен.

2. 2

   Вычислим математическое ожидание по формуле $\sum x P(x)$.

   $\mu = 0(0.20) + 1(0.18) + 2(0.10) + 3(0.25) + 4(0.25) + 5(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.20 + 0.75 + 1.00 + 0.10 = 2.23$

   То есть в среднем за день отсутствует $2{,}23$ сотрудника.

3. 3

   Находим $E(X^2)$, затем используем формулу для дисперсии. Возводим каждое $x$ в квадрат и умножаем на вероятность:

   $E(X^2) = 0(0.20) + 1(0.18) + 4(0.10) + 9(0.25) + 16(0.25) + 25(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.40 + 2.25 + 4.00 + 0.50 = 7.33$

4. 4

   Вычтем квадрат среднего. Формула для дисперсии: $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$ — позволяет не считать отдельно каждое отклонение:

   $\sigma^2 = 7.33 - (2.23)^2 = 7.33 - 4.9729 = 2.3571$

   $\sigma = \sqrt{2.3571} = 1.5353$

   Важно: сначала возводится в квадрат среднее, а не берётся среднее от квадратов.

5. 5

   (б) Сложим вероятности для $x > 2$. «Более двух» — это $x = 3, 4, 5$; $x = 2$ не входит:

   $P(X > 2) = 0.25 + 0.25 + 0.02 = 0.52$

6. 6

   Проверим дисперсию по определению. Суммируем $(x-\mu)^2 P(x)$: $(0-2.23)^2(0.20) = 0.99458$, $(1-2.23)^2(0.18) = 0.272322$, $(2-2.23)^2(0.10) = 0.00529$, $(3-2.23)^2(0.25) = 0.148225$, $(4-2.23)^2(0.25) = 0.783225$, $(5-2.23)^2(0.02) = 0.153458$. В сумме $= 2.3571$ ✓, что совпадает с предыдущим результатом. Также $P(X \le 2) = 0.20+0.18+0.10 = 0.48$ и $0.48 + 0.52 = 1$ ✓.