В 60-карточной колоде 11 отмеченных карт. Пять карт берутся как стартовая рука и откладываются в сторону, не глядя. Затем случайно вытягивают ещё три карты из оставшихся 55. Какова вероятность, что хотя бы одна из этих трёх карт отмечена?

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим сначала стартовую руку — именно в этом суть задачи. Возникает соблазн условиться о том, сколько отмеченных карт попало в первые пять. Но никаких карт не было открыто, а колода тщательно перемешана, поэтому все восемь вытянутых карт (пять, затем три) — просто случайная выборка из восьми карт по порядку. По свойству обменяемости, позиции 6, 7 и 8 столь же случайны, как и 1, 2 и 3.

2. 2

   Сведём задачу к обычному вытягиванию трёх карт. Таким образом, задача сводится к вычислению:

   $P(\text{ хотя бы одна отмечена среди 3 карт, вытянутых из всей }60)$

   где $11$ отмеченных и $60-11=49$ неотмеченных карт.

3. 3

   Используем противоположное событие. «Хотя бы одна» — это объединение пересекающихся событий, поэтому проще посчитать противоположное:

   $P(\text{ хотя бы одна })=1-P(\text{ ни одной отмеченной })=1-\frac{\binom{49}{3}}{\binom{60}{3}}$

4. 4

   Вычислим биномиальные коэффициенты.

   $\binom{49}{3}=\frac{49\cdot 48\cdot 47}{6}=18424,\qquad \binom{60}{3}=\frac{60\cdot 59\cdot 58}{6}=34220$

5. 5

   Выполним вычитание.

   $P=1-\frac{18424}{34220}=\frac{34220-18424}{34220}=\frac{15796}{34220}$

6. 6

   Переведём в проценты.

   $\frac{15796}{34220}=0.461601\ldots\approx 46.2\%$

   Проверка рассуждений: ответ не зависит от размера стартовой руки — вытягивание $0$, $5$ или $20$ карт сначала и затем трёх даёт те же $46.16\%$, пока ни одна карта не раскрыта.