Игральный кубик бросают четыре раза. Описать эксперимент с вероятностным пространством и найти вероятность, что единица выпадет не более трёх раз.

Step-by-step solution

1. 1

   Построим вероятностное пространство. Каждый исход — это упорядоченный набор из четырёх результатов, поэтому пространство элементарных исходов:

   $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^{4},\qquad |\Omega|=6^{4}=1296.$

   Кубик симметричный, броски независимы, значит, мера равномерна: каждый из $1296$ исходов имеет вероятность $\tfrac{1}{1296}$.

2. 2

   Перепишем событие через дополнение. Пусть $X$ — число единиц среди четырёх бросков. «Не более трёх» означает $X\in\{0,1,2,3\}$ — четыре случая. Дополнение — единственный случай $X=4$:

   $P(X\le 3)=1-P(X=4).$

   Вычислять одно значение вместо четырёх — основная причина использовать здесь правило дополнения.

3. 3

   Посчитаем исходы в дополнении. $X=4$ — это когда во всех бросках выпала единица, то есть ровно один исход $(1,1,1,1)$:

   $P(X=4)=\left(\frac{1}{6}\right)^{4}=\frac{1}{1296}.$

4. 4

   Вычтем.

   $P(X\le 3)=1-\frac{1}{1296}=\frac{1295}{1296}\approx 0.99923.$

5. 5

   Проверим разумность ответа. Получить четыре единицы подряд крайне маловероятно, значит, «не более трёх» — почти достоверное событие, и $0.99923$ это подтверждает. Для проверки: биномиальная модель $X\sim B(4,\tfrac16)$ даёт $P(X=4)=\binom{4}{4}\left(\tfrac16\right)^4\left(\tfrac56\right)^0=\tfrac{1}{1296}$ — то же значение.