Пятьдесят процентов потребителей предпочитают покупать электронику онлайн. Случайно выбирают 8 потребителей. Найдите вероятность того, что число предпочитающих покупать онлайн равно (а) ровно пяти, (б) больше пяти, (в) не больше пяти.

Step-by-step solution

1. 1

   Определяем распределение. Восемь независимых потребителей, каждый либо предпочитает онлайн, либо нет, с фиксированной вероятностью $p = 0.5$: это биномиальное распределение с $n = 8$, $p = 0.5$. Вероятность ровно $k$ успехов равна

   $P(k) = \binom{8}{k}(0.5)^k(0.5)^{8-k} = \binom{8}{k}\frac{1}{256}$

   Поскольку $p = 0.5$, степени сворачиваются в одну константу $\tfrac{1}{2^8} = \tfrac{1}{256}$, и вся задача сводится к подсчёту числа сочетаний.

2. 2

   (а) Ровно пять. $\binom{8}{5} = \dfrac{8!}{5!\,3!} = 56$, поэтому

   $P(5) = \frac{56}{256} = 0.21875 \approx 0.219$

3. 3

   (б) Больше пяти. «Больше пяти» — это $6$, $7$ или $8$, поэтому складываем три слагаемых. $\binom{8}{6} = 28$, $\binom{8}{7} = 8$, $\binom{8}{8} = 1$:

   $P(X > 5) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} = 0.144531 \approx 0.145$

   Обратите внимание: $X > 5$ не включает $5$ — ошибочно включив его, мы добавили бы лишние $0.219$.

4. 4

   (в) Не больше пяти — через дополнение. «Не больше пяти» означает $X \le 5$, то есть всё, кроме $X > 5$:

   $P(X \le 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256} = 0.855469 \approx 0.855$

   Это заметно быстрее, чем суммировать шесть слагаемых $k = 0,\ldots,5$.

5. 5

   Проверяем согласованность частей. Сумма по всем $2^8$ исходам: $\binom{8}{0}+\cdots+\binom{8}{8} = 256$, значит вероятности в сумме дают ровно $1$ ✓. Кроме того, $P(X \le 5) + P(X > 5) = \tfrac{219}{256} + \tfrac{37}{256} = 1$ ✓, а значение $\tfrac{219}{256}$ подтверждается прямым суммированием $1+8+28+56+70+56 = 219$.

6. 6

   Проверяем форму распределения. При $p = 0.5$ распределение симметрично относительно среднего $np = 4$, поэтому $P(5)$ обязано совпадать с $P(3)$: и действительно, $\binom{8}{3} = 56$ ✓. А так как больше половины массы приходится на значения, не превосходящие $4$, величина $0.855$ для $P(X \le 5)$ имеет как раз правильный порядок.