Найти P(X < 40,851), если X распределён нормально с математическим ожиданием 55 и стандартным отклонением 10.

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним стандартизацию значения, найдя $z$-оценку. $z$-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение отличается от математического ожидания:

   $z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{40.851-55}{10}=\frac{-14.149}{10}=-1.4149$

   Отрицательный знак говорит о том, что $40.851$ меньше среднего, значит, вероятность должна быть меньше $0{,}5$ — это сразу позволяет проверить итоговый ответ.

2. 2

   Переведём задачу к площади под стандартной нормальной кривой. Так как стандартизация сохраняет вероятности,

   $P(X<40.851)=P(Z<-1.4149)=\Phi(-1.4149)$

   где $\Phi$ — функция распределения стандартного нормального закона.

3. 3

   Вычислим накопленную вероятность. По определению через функцию ошибок: $\Phi(z)=\tfrac12\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$:

   $\Phi(-1.4149)=0.078549$

   По таблице значений можно интерполировать между $\Phi(-1.41)=0.0793$ и $\Phi(-1.42)=0.0778$, получая $0.0793-0.49(0.0015)=0.07857$ — это близко к точному значению, небольшая разница обусловлена округлением в таблице.

4. 4

   Запишем ответ.

   $P(X<40.851)\approx 0.0785\quad\text{(около }7.85\%\text{)}$

5. 5

   Проверим результат на разумность. $z = -1.41$ лежит чуть выше классической границы $-1.645$ (нижние $5\%$) и ниже $-1.28$ (нижние $10\%$), значит, площадь хвоста действительно должна быть между $5\%$ и $10\%$ — и $7.85\%$ этому соответствует. По симметрии $P(X>69.149)$ будет иметь то же значение $\checkmark$.