95-процентный доверительный интервал от 14 до 17 означает одно из следующего: что 95% интервалов, построенных так же, содержат среднее генеральной совокупности; что в 95% случаев выборочное среднее окажется между 14 и 17; что 95% средних генеральной совокупности лежат между 14 и 17; или что верно всё перечисленное?

Step-by-step solution

1. 1

   Помним, что здесь случайно, а что закреплено. Среднее генеральной совокупности $\mu$ — фиксированная неизвестная константа. Меняется интервал: возьмём новую выборку — получим новые границы. Любое верное толкование обязано относить случайность к интервалу, а не к $\mu$.

2. 2

   Разбираем первое утверждение. «95% доверительных интервалов, построенных так же, как этот, будут содержать $\mu$» относит случайность к интервалам и описывает поведение процедуры в длинной серии повторений. Это в точности определение уровня доверия $95\%$, поэтому утверждение верно.

3. 3

   Отвергаем утверждение о выборочном среднем. «В $95\%$ случаев $\bar{X}$ окажется между $14$ и $17$» смешивает доверительный интервал с интервалом прогноза для будущих выборочных средних. На самом деле $\bar{X}$ по построению стоит ровно в центре этого конкретного интервала; у среднего новой выборки нет гарантированной вероятности $95\%$ попасть между этими фиксированными границами.

4. 4

   Отвергаем утверждение о множестве средних. «$95\%$ значений $\mu$ лежат между $14$ и $17$» неверно вдвойне: значение $\mu$ одно, и оно не случайная величина. Фраза «вероятность того, что $\mu$ лежит между 14 и 17, равна 95%» — та же ошибка в другой одежде: когда данные уже получены, $\mu$ либо принадлежит $[14,17]$, либо нет, и вероятность равна $0$ или $1$, просто мы не знаем, какая именно.

5. 5

   Отвергаем вариант «верны все остальные ответы». Раз два из трёх утверждений ложны, этот вариант тоже не проходит.

6. 6

   Формулируем ответ. Верно только первое утверждение: 95% доверительных интервалов, построенных так же, как этот, будут содержать $\mu$. Уровень доверия — свойство метода при многократном повторении выборки, а не того единственного интервала, который лежит перед вами.