Дан набор данных: 6, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 18, среднее значение 12. Найдите стандартное отклонение генеральной совокупности.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим, действительно ли среднее равно $12$. Сумма всех $17$ значений:

   $\sum x = 204, \qquad \bar{x} = \frac{204}{17} = 12$

   Таким образом, среднее действительно составляет $12$. Это важно: при целом среднем все отклонения от среднего — целые числа, и вычисления можно провести без округлений.

2. 2

   Выпишем квадраты отклонений для каждой группы одинаковых значений:

   $6 \rightarrow (-6)^2 = 36, \qquad 10 \ (\times 2) \rightarrow 4 \text{ каждое}, \qquad 11 \ (\times 3) \rightarrow 1 \text{ каждое}$

   $12 \ (\times 5) \rightarrow 0, \qquad 13 \ (\times 3) \rightarrow 1, \qquad 14 \ (\times 2) \rightarrow 4, \qquad 18 \rightarrow 36$

3. 3

   Сложим все квадраты отклонений:

   $\sum (x - 12)^2 = 36 + 2(4) + 3(1) + 0 + 3(1) + 2(4) + 36 = 94$

   Два крайних значения — $6$ и $18$ — дают $72$ из $94$, то есть более трёх четвертей всего разброса обеспечивают лишь два из семнадцати наблюдений.

4. 4

   Делим полученную сумму на $n$, чтобы найти дисперсию генеральной совокупности:

   $\sigma^2 = \frac{94}{17} \approx 5.5294$

   Используется $n = 17$, а не $n - 1$, так как рассматривается вся совокупность, а не выборка из большего множества.

5. 5

   Извлекаем квадратный корень для получения стандартного отклонения:

   $\sigma = \sqrt{5.5294} \approx 2.35$

   Для сравнения: выборочное стандартное отклонение было бы $s = \sqrt{94/16} \approx 2.42$. Но по условию задачи нужен именно параметр генеральной совокупности — $2,35$.