В классе по математике половина учеников набрала 78 баллов на тесте. Несколько человек получили 55, остальные — 74. Какое утверждение о распределении верно?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем количество учеников через переменные. Пусть всего в классе чётное число учеников $N$: $\tfrac{N}{2}$ человек получили $78$, $k \ge 1$ — $55$, а $\tfrac{N}{2} - k$ — $74$. Утверждение должно быть верно при любом допустимом $k$, поэтому оставим его как переменную.

2. 2

   Найдём медиану. Если упорядочить баллы по возрастанию, сначала идут все $55$ (их $k$ штук), затем $74$ (их $\tfrac{N}{2} - k$), затем $78$ (их $\tfrac{N}{2}$). Два центральных места — $\tfrac{N}{2}$ и $\tfrac{N}{2}+1$ — занимают $74$ и $78$:

   $\text{медиана} = \frac{74 + 78}{2} = 76$

3. 3

   Вычислим среднее арифметическое.

   $\text{среднее} = \frac{78\cdot\tfrac{N}{2} + 55k + 74\left(\tfrac{N}{2}-k\right)}{N} = \frac{76N - 19k}{N} = 76 - \frac{19k}{N}$

   Каждый ученик, получивший $55$ вместо $74$, уменьшает сумму баллов на $19$ — это и отражено в $-19k$ в числителе.

4. 4

   Сравним среднее и медиану. Так как $k \ge 1$,

   $\text{среднее} = 76 - \frac{19k}{N} < 76 = \text{медиана}$

   Значит, верен вариант D: низкие баллы уменьшают среднее, но не влияют на медиану.

5. 5

   Исключим остальные варианты. Варианты B и C противоречат строгому неравенству, только что доказанному. Вариант A неверен, так как мода — это $78$ (самый частый балл, его набрала половина класса), а среднее меньше: $76 < 78$.

6. 6

   Проверим на числовом примере. Пусть $N = 20$, $k = 3$: десять учеников получили $78$, трое — $55$, семеро — $74$. Среднее $= \tfrac{780 + 165 + 518}{20} = 73{,}15$, медиана $= 76$, мода $= 78$. Формула даёт $76 - \tfrac{57}{20} = 73{,}15$ — совпадает с вычислениями.