Math Glossary

An angle measures the rotation between two rays sharing a common endpoint (the vertex). Common units: degrees (full circle = 360°) and radians (full circle = 2π).

A function is continuous at a point if its value there equals the limit of its values as inputs approach the point — no jumps, holes, or asymptotes.

ظل التمام هو مقلوب الظل: cot(θ) = cos(θ)/sin(θ). يستثني المجال الزوايا التي يكون عندها sin = 0.

قاطع التمام هو مقلوب الجيب: csc(θ) = 1/sin(θ). تستبعد مجموعة تعريفه الزوايا التي يكون عندها sin = 0 (أي مضاعفات π).

An exponent indicates how many times a base is multiplied by itself. In aⁿ, n is the exponent and a is the base. Example: 2³ = 2·2·2 = 8.

L'Hôpital's rule resolves indeterminate limits of the form 0/0 or ∞/∞ by replacing the limit with the limit of the derivatives' ratio.

A logarithm is the inverse of exponentiation: log_a(b) = c means a^c = b. It answers "what power of a gives b?"

القيمة الاحتمالية p هي احتمال ملاحظة بيانات لا تقلّ تطرّفاً عن عيّنتك، بافتراض صحّة فرضية العدم. والقيمة p الصغيرة تعني وجود دليل ضدّ H₀.

A series is the sum of a sequence — finite or infinite. Whether an infinite series adds up to a finite number is determined by convergence tests.

القاطع هو مقلوب جيب التمام: sec(θ) = 1/cos(θ). يستثني المجال الزوايا التي يكون عندها cos = 0 (π/2 + kπ).

توزيع t جرسي الشكل مثل التوزيع الطبيعي لكن بأذيال أثقل. يُستخدم في الاستدلال عن المتوسطات عندما يكون حجم العينة صغيرًا أو σ مجهولًا.

تقيس الدرجة المعيارية z عدد الانحرافات المعيارية التي تقع بها قيمة فوق المتوسط أو تحته. z = (x − μ) / σ. تُستخدم لمقارنة القيم عبر التوزيعات والبحث عن الاحتمالات.

إزاحة الطور هي انتقال أفقي لدالة دورية. بالنسبة إلى y = sin(Bx + C)، تكون إزاحة الطور -C/B (الموجبة = إلى اليمين، السالبة = إلى اليسار).

يختار اختبار الفرضيات بين ادعاءين متنافسين حول مجتمع إحصائي باستخدام بيانات العيّنة. نحسب إحصاءة اختبار ونرفض الفرضية الصفرية إذا كانت القيمة p صغيرة.

يقارن اختبار مربع كاي التكرارات المرصودة بالتكرارات المتوقعة في البيانات الفئوية. χ² = Σ(O−E)²/E. يُستخدم لاختبارات جودة المطابقة والاستقلال.

الأمثَلة في حساب التفاضل والتكامل تعني إيجاد القيم العظمى أو الصغرى لدالة. نضع f'(x) = 0 لإيجاد النقاط الحرجة، ثم نختبر كونها قيمة عظمى أو صغرى.

يربط نظام الإحداثيات أعدادًا بنقاط الفضاء. النظام الديكارتي (x, y) هو الأكثر شيوعًا في البعدين؛ ويُستخدم النظام القطبي (r, θ) عند وجود تماثل دائري.

يقيس الارتباط قوّة العلاقة الخطّية بين متغيّرين واتجاهها. معامل بيرسون r يقع في [-1, 1]: 1 = ارتباط طردي تامّ، -1 = ارتباط عكسي تامّ، 0 = لا توجد علاقة خطّية.

يجد الاشتقاق الضمني dy/dx عندما يكون y معرّفًا ضمنيًّا بمعادلة (مثل x²+y²=25)، دون حلّ المعادلة من أجل y أوّلًا.

يقيس التفاف حقل متجهي الدوران الموضعي. ∇×F يعطي متجهًا يتجه على امتداد محور الدوران بمقدار يتناسب مع معدل الدوران.

يلائم الانحدار الخطي مستقيماً للبيانات: y = mx + b. ويُصغّر هذا المستقيم مجموع مربّعات المسافات الرأسية إلى النقاط (المربّعات الصغرى).

يقيس الانحراف المعياري مدى تشتت مجموعة بيانات حول متوسطها. الانحراف الصغير يعني تجمّع القيم بإحكام؛ والكبير يعني تبعثرها.

يقيس تباعد حقل متجهي مقدار «التدفق الخارج» الصافي عند كل نقطة. ∇·F > 0 يعني منبعًا؛ < 0 يعني مصبًّا. أساس ديناميكا الموائع والكهرومغناطيسية.

يقيس التباين مدى تشتت مجموعة البيانات حول متوسطها. وهو متوسط مربعات الانحرافات. والانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.

تحليل تعبير إلى عوامل يعني إعادة كتابته كحاصل ضرب تعبيرات أبسط، مثل x²+5x+6 = (x+2)(x+3). وهو عكس فك الأقواس.

تدرّج دالة متعدّدة المتغيّرات f(x,y,...) هو متّجه المشتقّات الجزئية. يشير إلى اتجاه أشدّ تزايد، وهو أساس خوارزمية الانحدار التدرّجي.

يتشابه شكلان إذا كان أحدهما نسخة مكبّرة أو مصغّرة من الآخر — الشكل نفسه مع احتمال اختلاف الحجم. كل الزوايا المتناظرة متساوية، وكل الأضلاع المتناظرة متناسبة.

يتطابق شكلان إذا أمكن تحويل أحدهما إلى الآخر بحركة صلبة (إزاحة، دوران، انعكاس) — الشكل نفسه والحجم نفسه.

تتقارب المتتالية أو المتسلسلة إذا اقتربت من نهاية منتهية. وإلا فإنها تتباعد. تحدّد اختبارات التقارب أيّ الحالتين تنطبق.

التكامل هو النظير المتصل للجمع — وغالبًا المساحة تحت منحنى. التكاملات المحددة تنتج أعدادًا؛ والتكاملات غير المحددة تنتج دوالًا أصلية (عكسية للاشتقاق).

التكامل المعتل إما أن يكون له حد لا نهائي أو دالة مكاملة غير مقيّدة في مكان ما على الفترة. يُقيَّم كنهاية لتكاملات سليمة.

التوزيع الطبيعي (الغاوسي) هو منحنى احتمالي على شكل جرس يوصف بالكامل بمتوسطه μ وانحرافه المعياري σ. وهو أساس جزء كبير من الإحصاء.

يدلّ الجذر على الجذر: √a هو الجذر التربيعي، و∛a هو الجذر التكعيبي، وⁿ√a هو الجذر النوني. والجذور معكوس رفع الأس.

الجيب وجيب التمام والظل هي الدوال المثلثية الأساسية الثلاث، تُعرَّف كنسب بين أضلاع المثلث القائم وتُمدَّد إلى جميع الأعداد الحقيقية عبر دائرة الوحدة.

يقيس الحجم الحيّز ثلاثي الأبعاد الذي يشغله مجسّم. وحداته مكعّبة (cm³، m³). لكل شكل صيغته الخاصة؛ ويعمّم التفاضل والتكامل ذلك عبر التكامل.

الدائرة هي مجموعة كل النقاط في المستوى التي تبعد مسافة ثابتة عن مركز. المسافة الثابتة هي نصف القطر؛ وأطول وتر يمرّ بالمركز هو القطر (2× نصف القطر).

الدالة قاعدة تُسنِد لكل مدخل مخرجًا واحدًا بالضبط. الترميز: f(x) = ... يعني "مخرج f عندما يكون x هو المدخل".

تستعيد الدوال المثلثية العكسية (arcsin، arccos، arctan) الزاوية من نسبة مثلثية. فـ arcsin(y) = x تعني sin(x) = y، مع مجال مخرجات مقيَّد.

الدور هو الطول الأفقي الذي تُكمل خلاله الدالة المثلثية دورةً كاملة واحدة. للدالتين sin و cos دور قدره 2π؛ وللدالة tan دور قدره π.

الراديان هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله مساوٍ لنصف القطر. والدائرة الكاملة 2π راديان (≈ 6.28). وهو الوحدة اللازمة في التفاضل والتكامل.

تقسم الربيعيات مجموعة البيانات إلى أربعة أجزاء متساوية. Q1 (المئين 25)، Q2 (الوسيط، المئين 50)، Q3 (المئين 75). المدى الربيعي Q3-Q1 مقياس تشتت متين.

السعة هي أقصى انحراف للموجة عن مركزها. في y = A sin(Bx) تكون السعة |A|. كلما زادت السعة كانت الموجة أعلى.

القيمة المطلقة |x| هي المسافة من x إلى 0 على خط الأعداد — وهي غير سالبة دائماً. |3| = 3، |-3| = 3.

المئين k هو القيمة التي تقع تحتها نسبة k٪ من المشاهدات. المئين الخمسون هو الوسيط؛ والمئينان الخامس والعشرون والخامس والسبعون هما الربيعان.

المتطابقات المثلثية معادلات تربط بين الدوال المثلثية وتتحقق لكل الزوايا الصالحة، مثل sin²θ + cos²θ = 1. تُستخدم لتبسيط العبارات وحل المعادلات.

المتوسط الحسابي هو مجموع مجموعة من القيم مقسومًا على عددها. وهو أكثر تلخيص بقيمة واحدة شيوعًا لمجموعة بيانات.

مجال الدالة هو مجموعة كل المدخلات الصحيحة؛ والمدى هو مجموعة كل المخرجات الممكنة. ومعاً يصفان وصفاً كاملاً ما تربطه الدالة.

المحيط هو الطول الكلي حول شكل ثنائي الأبعاد. وفي الدائرة يُسمّى المحيط محيط الدائرة: C = 2πr.

تقيس المساحة حجم منطقة ثنائية الأبعاد — أي مقدار السطح الذي تغطّيه. الوحدات مربّعة (سم²، م²). ولكل شكل صيغته الخاصة لحساب المساحة.

تقيس المشتقة معدل التغير اللحظي للدالة — وبصورة مكافئة، هي ميل المماس لمنحنى الدالة عند نقطة واحدة.

تقيس المشتقة الجزئية كيف تتغيّر دالةٌ متعدّدة المتغيّرات عند تغيّر متغيّر واحد فقط مع إبقاء البقية ثابتة. الترميز: ∂f/∂x.

المضلّع شكل ثنائي الأبعاد مغلق بأضلاع مستقيمة. الأنواع الشائعة: المثلّث (3)، الرباعي (4)، الخماسي (5)، السداسي (6)، وهكذا.

المعادلة التربيعية هي معادلة كثيرة حدود من الدرجة الثانية بمتغير واحد، تُكتب على الصورة ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0. ومنحناها قطع مكافئ.

المُعامِل هو العامل العددي الموضوع أمام متغيّر في تعبير جبري. في 5x² المُعامِل هو 5.

مسائل المعدّلات المترابطة تربط معدّلات تغيّر متغيّرين أو أكثر يصل بينهما معادلة. تُستخدم فيها الاشتقاق الضمني بالنسبة إلى الزمن.

يمسّ المستقيم المماس منحنًى عند نقطة واحدة بالضبط ويوافق اتجاه المنحنى عندها. وفي الدوائر، يكون المماس عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التماس.

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً في مجموعة البيانات. ويمكن أن يكون لمجموعة البيانات منوال واحد، أو عدّة منوالات، أو لا منوال. وهو مفيد للبيانات الفئوية.

تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب مدخلها على نحو اعتباطي من هدف معيّن — دون أن يصل إليه بالضرورة. النهايات أساس كل من المشتقات والتكاملات.

الوسيط هو القيمة الوسطى لمجموعة بيانات مرتّبة. وعندما يكون عدد البيانات زوجيًّا، فهو متوسط القيمتين الوسطيين. وهو مقاوم للقيم الشاذة.

التعبير النسبي كسرٌ بسطه ومقامه كثيرتا حدود، مثل (x²-1)/(x+2). يُبسَّط بتحليله إلى عوامل واختزال العوامل المشتركة.

ثلاثي الحدود كثير حدود يتكوّن من ثلاثة حدود بالضبط، مثل x² + 5x + 6. وهو أكثر الأنواع شيوعًا في تمارين التحليل إلى عوامل.

دائرة الوحدة هي الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل. وهي تُعرّف الدوال المثلثية لجميع الزوايا الحقيقية، وليس الزوايا الحادة فقط.

درجة كثيرة الحدود هي أكبر أُسّ على متغيّرها. الدرجة 1 = خطية، 2 = تربيعية، 3 = تكعيبية، 4 = رباعية.

ذو الحدّين كثير حدود يتكوّن من حدّين بالضبط، مثل x + 3 أو 2x² - 5. يتميّز عن وحيد الحدّ (حدّ واحد) وثلاثي الحدود (ثلاثة حدود).

شبه المنحرف هو شكل رباعي له على الأقل زوج واحد من الأضلاع المتوازية (تُسمى القاعدتين). المساحة = (1/2)(b₁+b₂)h.

يربط قانون الجيب أضلاع أيّ مثلث بجيوب الزوايا المقابلة: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C).

يعمّم قانون جيب التمام مبرهنة فيثاغورس على أي مثلث: c² = a² + b² − 2ab cos(C). يُستخدم في مسائل المثلث من نوع SSS أو SAS.

كثير الحدود هو مجموع حدود، كل حد ثابت مضروب في متغير مرفوع لأُس صحيح غير سالب. أمثلة: 3x²+2x-7، x³-4x+1.

تنص مبرهنة القيمة المتوسطة على أنه من أجل دالة ملساء على [a,b]، توجد نقطة c حيث تساوي ′f(c) معدّل التغيّر الوسطي (f(b)−f(a))/(b−a).

تعكس مبرهنة بايز الاحتمالات الشرطية: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B). وهي أساس الاستدلال البايزي والفحوص الطبية وتعلّم الآلة.

تنص مبرهنة فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية يساوي مربع الوتر مجموع مربعي الضلعين الآخرين: a² + b² = c².

تقارن المتباينة بين تعبيرين باستخدام <، ≤، > أو ≥. وتشكّل الحلول فترات أو اتحادات فترات على خط الأعداد.

المتجه كمية لها مقدار واتجاه معًا. الترميز: ⟨x, y⟩ أو ⟨x, y, z⟩. تُجمع المتجهات مركّبةً بمركّبة، وهي تشكّل أساس الفيزياء والرسوميات وتعلّم الآلة.

تقرّب متسلسلة تايلور دالةً ملساء بكثير حدود لا نهائي مبني من مشتقاتها عند نقطة واحدة. ويعطي قطعُها تقريبات بكثيرات الحدود.

متوازي الأضلاع شكل رباعي زوجا أضلاعه المتقابلة متوازيان. يشمل المستطيلات والمعيّنات والمربّعات كحالات خاصّة.

المثلث مضلّع له ثلاثة أضلاع، ومجموع زواياه الداخلية يساوي دائمًا 180°. يُصنَّف حسب الأضلاع (متساوي الأضلاع، متساوي الساقين، مختلف الأضلاع) أو حسب الزوايا (حاد الزوايا، قائم الزاوية، منفرج الزاوية).

يعطي مجال الثقة مجالًا من القيم المعقولة لوسيط مجتمع إحصائي، مع مستوى ثقة معلَن (مثل 95%) يصف موثوقية الإجراء على المدى البعيد.

يقرّب مجموع ريمان المساحة الواقعة تحت منحنٍ بتقسيم المنطقة إلى مستطيلات. وكلما أصبحت المستطيلات أنحف، تقارب المجموع إلى التكامل المحدّد.

مساحة السطح هي المساحة الكلية لجميع وجوه المجسّم ثلاثي الأبعاد. وهي تختلف عن الحجم: تُقاس مساحة السطح بوحدات مربّعة (cm²) ويُقاس الحجم بوحدات مكعّبة.

المعادلة الخطية هي معادلة يكون تمثيلها البياني خطاً مستقيماً. بمتغيّر واحد: ax + b = 0. وبمتغيّرين: ax + by = c.