متسلسلة تايلور

متسلسلة تايلور للدالة $f$ حول النقطة $a$ هي

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

عندما $a = 0$ تُسمّى المتسلسلة متسلسلة ماكلورين.

نشورات شهيرة:

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ (من أجل $|x| < 1$).

قطع المتسلسلة عند الدرجة $n$ يعطي تقريباً بكثير حدود. وهكذا تحسب الآلات الحاسبة داخلياً الدوال المثلثية والأسية، وهكذا تقرّب الفيزياء سلوك «الزاوية الصغيرة» أو «السرعة المنخفضة». توجد متسلسلة تايلور في كل موضع تكون فيه الدالة قابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية ويؤول فيه حدّ الباقي إلى الصفر.