مجموع ريمان

يقرّب مجموع ريمان المساحة الواقعة تحت المنحنى $y = f(x)$ على $[a, b]$ بتقسيم المجال إلى $n$ مجالًا جزئيًّا عرض كلٍّ منها $\Delta x = (b-a)/n$ وجمع مساحات $n$ مستطيلًا:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

حيث $x_i^*$ نقطة عيّنة في المجال الجزئي رقم $i$. الاختيارات الشائعة:

• مجموع ريمان اليساري: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$.
• مجموع ريمان اليميني: $x_i^* = a + i \Delta x$.
• قاعدة نقطة المنتصف: منتصف المجال الجزئي (أكثر دقّة).

عندما $n \to \infty$ (تصبح المستطيلات نحيفة بقدر ما نشاء)، إذا كانت $f$ قابلة للمكاملة، فإن مجموع ريمان يقارب إلى التكامل المحدّد:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

هذا تعريف التكامل يربط الجمع المتقطّع بالمساحة المتّصلة، ويفسّر لماذا رمز التكامل $\int$ هو «حرف S ممدود» يدلّ على الجمع (sum). كما أن مجاميع ريمان تشكّل أساس كل مكاملة عددية (قاعدة شبه المنحرف، قاعدة سيمبسون).