مبرهنة القيمة المتوسطة

مبرهنة القيمة المتوسطة (MVT) نتيجة أساسية في حساب التفاضل والتكامل. إذا كانت $f$ متّصلة على $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق على $(a, b)$، فإنه توجد نقطة واحدة على الأقل $c \in (a, b)$ بحيث

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

هندسيًّا: المماس عند $c$ موازٍ للقاطع المار بالنقطتين $(a, f(a))$ و $(b, f(b))$.

الحدس (تشبيه القيادة): إذا قطعت 60 ميلًا في ساعة واحدة، فإن سرعتك المتوسطة هي 60 ميلًا في الساعة؛ وتضمن المبرهنة أنه في لحظة ما كانت سرعتك اللحظية تساوي بالضبط 60 ميلًا في الساعة.

المبرهنة هي المحرّك الكامن خلف:

• اختبار التزايد/التناقص ($f' > 0 \implies$ متزايدة).
• برهان المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل.
• حدود الخطأ في الطرائق العددية (مبرهنة تايلور مع حدّ الباقي).
• مبرهنات الوحدانية للمعادلات التفاضلية.

الحالة الخاصة ($f(a) = f(b)$) هي مبرهنة رول: توجد نقطة $c$ حيث $f'(c) = 0$.