القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لعدد حقيقي $x$، وتُكتب $|x|$، هي مسافته من $0$ على خط الأعداد — وهي غير سالبة دائماً. التعريف الصوري:

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

قواعد شائعة:

• $|ab| = |a||b|$
• $|a/b| = |a|/|b|$ (مع $b \neq 0$)
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ — متباينة المثلث.

حلّ $|x - 3| = 5$ يستلزم النظر في الحالتين: $x - 3 = 5$ أو $x - 3 = -5$، وهذا يعطي $x = 8$ أو $x = -2$.

التعميمات: في المستوى المركّب، $|z|$ هي المسافة من $0$ في بُعدين. وفي الفضاءات المتّجهية، يصبح $|\vec{v}|$ هو النظيم (المعيار). وتُعمَّم القيمة المطلقة إلى أيّ بنية يكون فيها لـ"الحجم" أو "المسافة" معنى.