دائรة الوحدة

دائرة الوحدة هي الدائرة التي نصف قطرها $1$ ومركزها نقطة الأصل في المستوى الإحداثي: $x^2 + y^2 = 1$.

تكمن قوّتها في أنها توسّع علم المثلثات إلى ما وراء المثلثات القائمة. فلأي زاوية $\theta$ تُقاس عكس عقارب الساعة بدءاً من محور x الموجب، تكون النقطة على دائرة الوحدة عند تلك الزاوية هي $(\cos\theta, \sin\theta)$.

هذا التعريف الوحيد يعطي:

• $\sin\theta$ و $\cos\theta$ لـكل $\theta$ حقيقية (وليس فقط $0° < \theta < 90°$),
• الدورية $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$,
• متطابقة فيثاغورس $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ (وهي حرفياً معادلة الدائرة),
• إشارات $\sin$ و $\cos$ في كل ربع.

إن حفظ الزوايا الأساسية في الربع الأول ($0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$) واستخدام التناظر يغطّي الدائرة بأكملها. ودائرة الوحدة هي أنفع رسم واحد في علم المثلثات كلّه — وتستحق تماماً جلسة دراسة مخصّصة لها.