قانون الجيب

يصحّ قانون الجيب لأيّ مثلث (وليس المثلثات القائمة فقط):

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

حيث $a, b, c$ هي أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا $A, B, C$، و$R$ هو نصف قطر الدائرة المحيطة.

حالات الاستخدام:

1. AAS أو ASA: بمعلومية زاويتين وضلع واحد، أوجِد الأضلاع الأخرى.
2. SSA (الحالة الملتبسة): بمعلومية ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما. قد ينتج عنها صفر أو واحد أو مثلثان صحيحان — تحقّق دائماً.

قانون جيب التمام $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ هو المبرهنة المرافِقة لحالتَي SSS وSAS. ومعاً يحلّان أيّ مثلث حلاً تاماً: فبمعلومية أيّ ثلاث معطيات مستقلّة، يمكنك إيجاد الستّ كلّها (3 أضلاع + 3 زوايا).

البرهان: أنزِل ارتفاعاً من أحد الرؤوس؛ طوله $b \sin A$ بقياسٍ من جهة، و$a \sin B$ بقياسٍ من الجهة الأخرى. وبالمساواة بينهما نحصل على $a/\sin A = b/\sin B$.