التوزيع الطبيعي

التوزيع الطبيعي (أو الغاوسي) هو التوزيع الاحتمالي المتّصل ذو الشكل الجرسي الأيقوني. كثافته:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

تتحدّد بالكامل بمعاملين: المتوسط $\mu$ (الموقع) والانحراف المعياري $\sigma$ (التشتّت).

خصائص رئيسية:

• متماثل حول $\mu$.
• قاعدة 68-95-99.7: نحو $68\%$ من القيم ضمن $1\sigma$، و$95\%$ ضمن $2\sigma$، و$99.7\%$ ضمن $3\sigma$.
• التوزيع الطبيعي المعياري $N(0, 1)$ هو المرجع القياسي؛ ويمكن توحيد أي توزيع طبيعي عبر $z = (x - \mu)/\sigma$.

يظهر التوزيع الطبيعي في كل مكان بسبب نظرية النهاية المركزية: مجموع كثير من المتغيّرات العشوائية المستقلّة يميل إلى التوزيع الطبيعي بصرف النظر عن توزيعاتها الفردية. وهذا يجعله النموذج الافتراضي لأخطاء القياس ونسبة الذكاء والطول ودرجات الامتحانات، وأساساً لفترات الثقة واختبارات الفرضيات والعمليات الغاوسية.