مثلث

المثلث هو أبسط مضلّع — ثلاثة رؤوس، ثلاثة أضلاع، ثلاث زوايا داخلية. مجموع زواياه يساوي دائمًا 180° (أو $\pi$ راديان). هذه الحقيقة الوحيدة تشغّل قدرًا هائلًا من الهندسة.

التصنيف حسب الأضلاع:

• متساوي الأضلاع: الأضلاع الثلاثة متساوية (وكذلك جميع الزوايا $60°$)،
• متساوي الساقين: ضلعان على الأقل متساويان،
• مختلف الأضلاع: لا توجد أضلاع متساوية.

حسب الزوايا:

• حاد الزوايا: جميع الزوايا $< 90°$،
• قائم الزاوية: زاوية واحدة $= 90°$،
• منفرج الزاوية: زاوية واحدة $> 90°$.

تتيح المثلثات قائمة الزاوية مبرهنة فيثاغورس ($a^2 + b^2 = c^2$) ومجال علم المثلثات بأكمله. تنصّ متباينة المثلث على أن أي ضلع أقصر من مجموع الضلعين الآخرين — وهو قيد أساسي في الهندسة وتحليل المتجهات والفضاءات المترية.

المساحة: $A = \frac{1}{2}bh$ (القاعدة × الارتفاع ÷ 2)، أو صيغة هيرون عندما تكون أطوال الأضلاع الثلاثة $a, b, c$ فقط معلومة: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ حيث $s = \frac{a+b+c}{2}$.