Series (Infinite Sum)

المتسلسلة هي مجموع حدود متتالية. المتسلسلة المنتهية $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ ليست إلا جمعًا عاديًا. أما المتسلسلة اللانهائية $\sum_{i=1}^\infty a_i$ فهي نهاية المجاميع الجزئية $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ عندما $n \to \infty$.

إذا كانت $\lim_{n\to\infty} S_n$ موجودة ومنتهية، فإن المتسلسلة تتقارب؛ وإلا فإنها تتباعد. أمثلة شهيرة:

• المتسلسلة الهندسية $\sum r^n$ تتقارب إلى $\frac{1}{1-r}$ عندما $|r| < 1$.
• المتسلسلة التوافقية $\sum \frac{1}{n}$ تتباعد (ببطء).
• مسألة بازل: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

يُحدَّد التقارب بواسطة اختبارات: اختبار النسبة، واختبار الجذر، واختبار التكامل، واختبار المقارنة، واختبار المتسلسلات المتناوبة. تقرّب متسلسلات تايلور الدوال بكثيرات حدود من درجة عالية كيفما شئنا — وهي أساس التحليل العددي والتقريبات في الفيزياء.