التقارب

يصف التقارب الحالة التي تقترب فيها متتالية أو متسلسلة من نهاية منتهية.

المتتالية: تتقارب $\{a_n\}$ إلى $L$ إذا كان لكل $\varepsilon > 0$ يوجد $N$ بحيث $|a_n - L| < \varepsilon$ لكل $n > N$.

المتسلسلة: تتقارب $\sum a_n$ إذا تقاربت مجاميعها الجزئية $S_n$.

الاختبارات القياسية:

• اختبار الحد النوني: $a_n \not\to 0$ → تتباعد.
• المتسلسلة الهندسية: تتقارب $\sum r^n$ إذا وفقط إذا كان $|r| < 1$.
• اختبار المقارنة: التقييد بمتسلسلة معلومة.
• اختبار النسبة: $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → تتقارب.
• اختبار التكامل: يربط $\sum a_n$ بالتكامل $\int_1^\infty f(x) dx$.
• اختبار المتسلسلة المتناوبة: تتقارب $\sum (-1)^n b_n$ إذا كان $b_n \to 0$ بشكل رتيب.

التقارب المطلق (تقارب $\sum |a_n|$) أقوى من التقارب الشرطي. المتسلسلة التوافقية $\sum 1/n$ تتباعد؛ بينما $\sum (-1)^n/n$ تتقارب (متناوبة).