قانون جيب التمام

يعمّم قانون جيب التمام مبرهنة فيثاغورس على أي مثلث:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

حيث $c$ هو الضلع المقابل للزاوية $C$، و $a, b$ هما الضلعان الآخران. وبالتناظر: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$، $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$.

حالة خاصة: عندما تكون $C = 90°$ يكون $\cos 90° = 0$، وتنهار الصيغة إلى $c^2 = a^2 + b^2$ — مبرهنة فيثاغورس.

حالات الاستخدام:

• SSS: بمعلومية الأضلاع الثلاثة، نوجد زاوية: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• SAS: بمعلومية ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، نوجد الضلع الثالث مباشرة.

وهو رفيق قانون الجيب $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. ومعاً يعالجان جميع حالات حل المثلث الأربع (SSS، SAS، ASA، AAS) — وحدها SSA (الحالة الغامضة) تتطلب عناية إضافية.

قانون جيب التمام هو أيضاً الأصل الهندسي لـ الجداء السلمي في تحليل المتجهات: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$.