التكامل المعتل

التكامل المعتل يملك واحدًا على الأقل مما يلي:

1. حد لا نهائي: $\int_a^\infty f(x) \, dx$ أو $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$.
2. دالة مكاملة غير مقيّدة في مكان ما من $[a, b]$ (خط مقارب رأسي).

كلاهما يُقيَّم على أنه نهاية لتكاملات سليمة:

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

إذا كانت النهاية منتهية فإنه يتقارب؛ وإلا فإنه يتباعد.

أمثلة مشهورة:

• $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
• $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗ (التضاؤل الأبطأ يتباعد)
• $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — تكامل غاوس.

تحدّد اختبارات التقارب (اختبار المقارنة، اختبار p) ما إذا كان التكامل يستحق العناء أصلًا. تظهر التكاملات المعتلّة في الاحتمالات (تسوية دالة الكثافة الاحتمالية)، وتحويلات فورييه، والفيزياء.