الاشتقاق الضمني

يجد الاشتقاق الضمني $\frac{dy}{dx}$ عندما يكون $y$ معرّفًا ضمنيًّا بمعادلة، دون حلّ المعادلة صراحةً من أجل $y$ أوّلًا. وهو مفيد بوجه خاص عندما يكون الحلّ من أجل $y$ صعبًا أو مستحيلًا.

الإجراء: اشتقّ طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $x$، معاملًا $y$ كدالة في $x$ (بحيث يحصل كل حدّ فيه $y$ على عامل $\frac{dy}{dx}$ بقاعدة السلسلة)، ثم حُلّ من أجل $\frac{dy}{dx}$.

مثال: من أجل $x^2 + y^2 = 25$ (دائرة):

1. نشتقّ الطرفين: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
2. نحلّ: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.

يعطي هذا الميل عند أي نقطة على الدائرة دون الحاجة إلى $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$.

الاشتقاق الضمني هو الأداة المعيارية من أجل:

• مماسات المنحنيات التي ليست رسومًا بيانية لدوال.
• مسائل المعدّلات المرتبطة (ماء يملأ مخروطًا، سلّم ينزلق على جدار).
• اشتقاق الدوال العكسية (يُستعمل في استنتاج $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$).
• حلّ المعادلات التفاضلية والمنحنيات ذات الخاصّية الثابتة (خطوط التسوية).