الدالة $f$ تكون متصلة عند $x = a$ إذا تحققت ثلاثة شروط:

$f(a)$ معرَّفة،
$\lim_{x \to a} f(x)$ موجودة، و
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

حدسيًا: يمكنك رسم المنحنى مارًّا بتلك النقطة دون رفع القلم. أنواع عدم الاتصال الشائعة هي القابل للإزالة (ثقب)، والقفزي (تختلف النهاية اليسرى عن اليمنى)، واللانهائي (خط مقارب رأسي).

الاتصال هو الشرط المبدئي لمعظم مبرهنات التفاضل والتكامل. تنص مبرهنة القيمة المتوسطة على أن الدوال المتصلة تأخذ كل قيمة محصورة بين أي قيمتين من قيمها. وتضمن مبرهنة القيمة القصوى أن الدوال المتصلة على فترة مغلقة تبلغ قيمة عظمى وقيمة صغرى. القابلية للاشتقاق تستلزم الاتصال، لكن الاتصال لا يستلزم القابلية للاشتقاق — فالدالة $|x|$ متصلة في كل مكان لكنها غير قابلة للاشتقاق عند $0$ .

Continuity

A function is continuous at a point if its value there equals the limit of its values as inputs approach the point — no jumps, holes, or asymptotes.