卡在這題？用 AI 解開它

Statistics questions asked by real students

Real statistics questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

色盲機率 0.02625，已知色盲時為男性的機率 20/21

全體色盲機率是 0.02625，已知色盲時為男性的機率是 20/21 ≈ 0.952。男性 5%、女性 0.25% 色盲且男女各半，先用全機率公式，再用貝氏定理反轉條件。

貝氏定理算垃圾郵件機率：出現關鍵字後是 7/12

20% 郵件是垃圾郵件，垃圾信 70% 含「中獎」、正常信只有 12.5% 含它。收到含該詞的信，它是垃圾郵件的機率為 7/12 ≈ 58.33%。含全機率公式與 1000 封的驗算。

n = 8 的二項機率：P(5)、P(多於 5)、P(至多 5) 為 0.219、0.145、0.855

三個答案分別是 0.219、0.145 與 0.855。n = 8、p = 0.5 時每種結果的權重都是 1/256，所以 56、37、219 三個計數就直接給出這三個機率。

十位成人中少於四位的二項機率約為 0.022

n = 10、p = 0.66 時 P(X < 4) 約為 0.022。把 X = 0、1、2、3 這四項加起來即可，每一項都是二項式係數乘 0.66 的 k 次方再乘 0.34 的 10 − k 次方。

八位消費者、p = 0.5 的二項機率為 0.219、0.145 與 0.855

P(5) = 0.219、P(X > 5) = 0.145、P(X ≤ 5) = 0.855。p = 0.5 時每種結果等機率，所以每個答案都是巴斯卡三角形上的計數除以 256。

卡方適合度檢定 3:2:1 比例：χ²=5.84 詳解

200 件路口事故的觀察次數 116、60、24，檢定是否符合 3:2:1 的預測。算出期望次數 100、200/3、100/3，得 χ²=146/25=5.84，自由度 2，p≈0.054，不拒絕虛無假設。

喜劇組與控制組的 Cohen's d 為 0.37，屬小到中等效果

兩組平均數 2.43 與 1.86 相差 0.57。把平方和 17.71 與 10.86 合併在 12 個自由度上得 s = 1.543，因此 d = 0.57/1.543 = 0.37。

N = 8 由 ΣX 與 ΣX² 求效果量：d = 1.33，屬大效果

效果量 d = 1.33，屬於大效果。先求 SS = 351 − 48²/8 = 63 得 s = 3，再把 4 分的平均數差除以 s，關鍵是除以標準差而不是標準誤。

兩個 73% 機率合併：53.29% 或 92.71%

兩件都發生是 0.73² = 53.29%；至少一件發生是 1 − 0.27² = 92.71%。「合併」這個詞有歧義，兩種讀法相差將近 39 個百分點。

平均數同為 12 的兩組 17 筆資料：B 組變異較大

B 組的 σ 是 3.29、A 組是 2.35，所以 B 組變異較大。兩組的平均數與筆數完全相同，因此偏差平方和 184 對 94 就決定了一切。

雙向表的條件機率：114/250 = 0.456

機率是 0.456。以「黑人」為條件會把樣本空間縮到那一列的總數 250，所以要拿 114 除以 250，而不是除以 1438。

條件機率 P(白人 | 隔代教養) = 53/99 ≈ 0.535

機率是 0.535。以「隔代教養」為條件時，分母換成那一行的總數 99，而白人與隔代教養交會的格子是 53，因此 53/99 = 0.535。

依家庭收入分層的快樂條件比例：三列幾乎相同，關聯微弱

收入是解釋變數、快樂是反應變數。三列的百分比 12.8/61.4/25.8、13.3/64.0/22.7、13.2/58.8/28.0 幾乎相同，所以關聯性微弱。

大樣本平均數的 95% 信賴區間：n=278 實作

n=278、樣本平均數 8.83、樣本標準差 41.40，求母體平均數的 95% 信賴區間。用 t 分布（df=277，t=1.9686）算標準誤 2.4830、誤差界限 4.888，得 (3.94, 13.72)。

37 位學生三欄成績的描述統計：平均 70.43、69.70、78.54

三欄的平均數為 70.43、69.70、78.54，樣本標準差為 20.67、20.17 與 13.80。有兩位學生在前兩欄拿 0 分，把全距分別撐大到 90 與 92。

21 筆讀數的平均 2.4405、中位數 2.44、標準差 0.0432

這 21 個接近 2.4 的數值，平均數 2.4405、中位數 2.44、全距 0.16、s = 0.0432，而且在 2.40、2.43、2.49 各有一個眾數 — 五個統計量全部算出。

8 顆糖與 4 塊餅乾分給三個小孩：63、15、39 種分法

三小題的答案是 63、15 與 39 種。隔板法把兩種物品分開處理，再因為糖果與餅乾的選法彼此獨立而把兩個數相乘。

七筆花費平均 2,179.29 美元，第八筆需 1,625 美元才拉回 2,110

七位朋友的平均是 2,179.29 美元，高於 2,110 美元的估計值；Ashley 自己得只花 1,625 美元，八人的平均才會剛好回到 2,110 美元。

兩組 15 筆分數的次數分配表：低組 3,5,4,2,1、高組 0,1,3,6,5

低談數組在分數 1 到 5 的次數是 3、5、4、2、1，高談數組是 0、1、3、6、5。每一欄都必須合計為 15，這個檢查能抓出常見的 1 與 3 數錯。

用 1.5 倍四分位距判斷離群值：36 筆地塊實例

36 筆地塊面積的平均 48.00、中位數 32.50、Q1=18.02、Q3=57.48、最大 248。平均大於中位數判為右偏；IQR=39.46，上下界為 −41.17 與 116.67，最大值 248 是離群值。

聯合密度 A(2−x−y)：A = 2、P(2X−Y<1) = 7/12、F(1/2,1/4) = 19/64

在三角形區域上正規化得 A = 2。以 x = 1/2 分割區域得 P(2X − Y < 1) = 7/12；對角落的矩形積分得 F(1/2, 1/4) = 19/64，而 F(1/2, −1) = 0。

f(x,y) = cx 在 0 < x ≤ 1、0 ≤ y ≤ x 上：c = 3 且 X、Y 不獨立

正規化得 c = 3。邊際密度是 (0,1] 上的 3x² 與 [0,1] 上的 (3/2)(1 − y²)，兩者相乘不等於聯合密度，所以 X 與 Y 不獨立。

f(x,y) = cx²y 在 x² ≤ y ≤ 1 上：c = 21/4 與兩個邊際密度

在拋物線 y = x² 與直線 y = 1 之間的區域上正規化得 c = 21/4。邊際密度是 [−1,1] 上的 (21/8)x²(1 − x⁴) 與 [0,1] 上的 (7/2)y 的 5/2 次方。

訓練前後體重：平均 77.81 與 76.20 公斤，標準差 15.94、16.19

十五筆體重平均為訓練前 77.81 公斤、訓練後 76.20 公斤。除以 n − 1 = 14 所得的樣本標準差分別是 15.94 與 16.19 公斤。

每日缺勤分布：平均 2.23 人、變異數 2.3571、P(X > 2) = 0.52

平均是 2.23 人，變異數是 2.3571，缺勤超過兩人的機率是 0.52。用 E(X²) − μ² 比逐一展開六個偏差平方快得多。

三角形密度函數的期望值與變異數：E(X)=1、Var=1/6

連續型隨機變數 X 的密度為 0<x≤1 時 f=x、1≤x<2 時 f=2−x。先驗證積分為 1，用對稱性得 E(X)=1，再算 E(X²)=7/6，得變異數 1/6，標準差約 0.408。

八把二手貝斯價格：平均 679.63、中位數 689.50、眾數 699

平均是 679.63 美元、中位數 689.50、眾數 699。八個價格合計 5,437，所以印成 670.63 的平均數是數字寫顛倒的錯誤。

3, 7, 5, 9, 5, 2 的平均數 31/6、中位數 5、眾數 5

答案：平均數 31/6 = 5.1667、中位數 5、眾數 5。平均數是加總再除以個數；中位數要先排序再取中間兩數的平均；眾數則數重複次數。

6, 7, 3, 4, 9, 5 的平均數 17/3、中位數 5.5、沒有眾數

平均數是 17/3 = 5.67，中位數是 5.5。每個值都只出現一次，所以這組資料沒有眾數 — 這種情況值得明確指出來。

七筆大學花費平均 2179.29 美元，第八筆需 1625 美元才回到 2110

平均是 2,179.29 美元，高於 2,110 的估計值。要把八筆的平均拉回 2,110，追加的金額必須是 8(2110) − 15,255 = 1,625 美元。

一半考 40、少數考 80、其餘 58：平均數大於中位數

平均數大於中位數。中位數固定為 49，而平均數等於 49 + 22k/N，所以那少數幾個 80 分會把平均嚴格往上拉。

一半考 78、少數考 55、其餘 74：平均數小於中位數

平均數小於中位數。不論班級人數多少，中位數都恰為 76，而平均數等於 76 − 19k/N，因此一定低於它。

一半考 92、少數考 54、其餘 73：平均數小於中位數

平均數小於中位數。中位數固定在 82.5，而平均數是 82.5 − 19k/N，所以那少數幾個 54 分會把平均往下拉。

用求和符號算水費平均：全年 47.33、上半年 43.00、4 到 11 月 50.25

三個平均分別是全年 47.33 美元、1 到 6 月 43.00 美元、4 到 11 月 50.25 美元 — 變的是求和的上下限，不是公式本身。

剪刀石頭布得分 1、5、2 的混合策略：1/4、1/8、5/8

出石頭 1/4、布 1/8、剪刀 5/8。讓三個純策略的報酬相等得 5q − r = −5p + 2r = p − 2q = 0，而這個對稱賽局的值是 0。

樣本 1, 2, 3 的 95% 信賴區間：−0.48 到 4.48

區間是 −0.48 到 4.48。n = 3 時 t 臨界值為 4.303、標準誤為 1 除以根號 3，所以誤差界限高達 2.48。

常態分布第 90 百分位數：90% 學生幾分鐘內作答完

作答時間服從平均 58 分鐘、標準差 12 分鐘的常態分布，求 90% 學生完成的時間。這是反查常態的題型，z₀.₉₀ ≈ 1.2816，代入 x = μ + zσ 得約 73.38 分鐘。

X ~ N(55, 10) 的右尾機率 P(X > 58.253) ≈ 0.3725

機率約為 0.3725。z 分數是 +0.3253，左尾面積是 0.62752，用 1 減掉它就得到右尾機率 0.37248。

X ~ N(55, 10) 用 z 分數求 P(X < 40.851) ≈ 0.0785

機率約為 0.0785。標準化得 z = (40.851 − 55)/10 = −1.4149，標準常態在該 z 分數左方的面積是 0.078549。

4×4 路網上的最短路徑：C(6,3) = 20 條路線

只能往東或往南走時，每條路線都是 3 次向東與 3 次向南的某種排列，所以路線數就是在 6 個位置中挑 3 個放向東的方法數，也就是 20。

由 ΣX 與 ΣX² 對 9.00 做單樣本 t 檢定：t = −2.83

結果是 t = −2.83。把兩個和換算成平均數 6 與 s = 3，再除以標準誤 3 除以根號 8 等於 1.0607，負號一定要保留。

由總和與平方和做單一樣本 t 檢定：t=3.77、d=1.33

N=8、ΣX=48、ΣX²=351，對假設平均數 2.00 做雙尾單一樣本 t 檢定。用計算式得 SS=63、s=3、SE=1.0607、t=3.771（df=7），在 .05 與 .01 下拒絕虛無假設，效果量 Cohen's d = 1.33。

由摘要統計做單因子變異數分析：η²≈0.50、F=8.94

三組各 7 人，ΣX 為 36、17、13，ΣX² 為 200、59、35。算出校正項 207.4286、SS總 86.5714、SS組間 43.1429，得 η² ≈ 0.498，F(2,18)=8.94，在 .01 水準下顯著。

自由度 1、卡方 = 137.38 的 p 值約為 9.96 × 10 的 −32 次方

答案：p 約為 9.96 × 10 的 −32 次方。先把卡方統計量換成 z 分數 11.72，再用標準常態的雙尾尾端機率求出精確值。

成對 t 檢定：訓練前後 BMI 有沒有顯著改變

15 位受試者訓練前後的 BMI，用成對 t 檢定在 5% 水準下檢定。差值平均 0.8627、標準差 1.4140，t=2.363（df=14）超過臨界值 2.145，p≈0.033 拒絕虛無假設；95% 信賴區間為 (0.08, 1.65)。

17 筆資料、平均數 12 的母體標準差約為 2.35

σ 約為 2.35，來自 17 筆資料的偏差平方和 94。因為平均數恰好是 12，每個偏差都是整數，計算全程都不會混入捨入誤差。

開局 5 張為何不改變後續抽 3 張的機率：15796/34220 ≈ 46.16%

機率是 15796/34220 = 46.16%。由可交換性，在一手未看過的開局牌之後抽的 3 張，行為就跟直接從完整 60 張牌抽 3 張一樣。

五個 p = 0.2 的獨立事件：全發生機率 0.00032，期望個數 1

答案：P(五個全發生) = 0.2 的 5 次方 = 0.00032，約 0.032%；發生個數的期望值由二項分布平均數公式得 np = 5 × 0.2 = 1。

三門砲命中率 0.2、0.3、0.5：至少一門中 0.72、恰好一門中 0.47

事件獨立時，至少命中一門用補事件 1 − (0.8)(0.7)(0.5) = 0.72；恰好命中一門則把三個互斥的單門命中乘積加起來。

袋中 3 紅 5 白抽 2 球全紅的機率：3/28

袋中有 3 顆紅球、5 顆白球，同時抽出兩顆，兩顆都是紅球的機率是多少？用組合數 C(3,2)/C(8,2) = 3/28 ≈ 0.107，並以乘法法則 3/8 × 2/7 驗算。

用補事件求至少一顆藍球的機率：791/792 ≈ 99.87%

答案：791/792 = 0.99874。從 5 紅 7 藍中抽 5 顆，在 C(12,5) = 792 種等可能的抽法裡，只要扣掉唯一那一組全紅即可。

從 12 顆抽 6 顆至少一顆藍球：923/924 ≈ 99.89%

答案是 923/924，約 99.89%。924 種六顆抽法中只有一種完全避開藍球，所以補事件法則一行就能算出結果。

抽 5 張牌同時含 A 與 B 的機率：排容原理算法

60 張牌中 5 張標 A、23 張標 B，不放回抽 5 張，求同時至少含一張 A 與一張 B 的機率。用餘事件加排容原理得 (C(60,5)−C(55,5)−C(37,5)+C(32,5))/C(60,5) ≈ 0.3201。

60 張中抽 3 張至少一張標記牌：13395/34220 ≈ 39.14%

答案是 13395/34220，約 39.14%。補事件法則把三種情形收成一個式子：1 − C(51,3)/C(60,3)，其中 C(51,3) 數的是三張全無標記的抽法。

擲骰子八次至少出現一個 6：1 − (5/6) 的 8 次方 ≈ 0.7674

機率是 1 − (5/6) 的 8 次方，約 0.7674。「至少一次」是「一次都沒有」的補事件，而連續八次都避開 6 的機率是 (5/6) 的 8 次方。

6 紅 6 藍抽 6 顆至少 2 顆紅的機率：887/924

盒中 6 紅 6 藍，一次抽 6 顆，至少 2 顆是紅的機率是多少？樣本空間 C(12,6)=924，用餘事件只需算 0 紅（1 種）與 1 紅（36 種），得 1 − 37/924 = 887/924 ≈ 0.960。

擲骰子四次至多出現三個 1：1295/1296 ≈ 0.99923

機率是 1295/1296，約 0.99923。「至多三次」的補事件是「四次全是 1」，那只是單一結果，機率為 (1/6) 的 4 次方 = 1/1296。

從 52 張牌抽到 K 的機率：4/52 = 1/13 ≈ 7.69%

機率是 4/52 = 1/13，約 0.0769 也就是 7.69%。用四張 K 除以 52 張等可能的牌，再用 4 比 48 的勝算比確認。

1、2、3 三張牌抽五次恰好一次是 3：80/243

這是 n = 5、p = 1/3 的二項機率：C(5,1)(1/3)(2/3) 的 4 次方 = 5 × 16/243 = 80/243，約 0.329。

15 件抽 5 件、3 件瑕疵：恰好兩件 20/91、至少兩件 22/91

用超幾何計數 C(3,k)C(12,5−k)/C(15,5)。恰好兩件瑕疵得 660/3003 = 20/91；因為瑕疵品只有三件，至少兩件只要再加上 66 種三件全中的抽法，得 22/91。

44 格中有 30 格空白：抽中空白格的機率 15/22 ≈ 68.18%

機率是 30/44 = 15/22 ≈ 0.6818，約 68.18%。把有利情形除以全部情形，再用公因數 2 約分即可。

公正六面骰擲出 6 的機率：1/6 ≈ 16.67%

機率是 1/6 ≈ 0.1667，約 16.67%。公正骰子有六個等可能的結果，其中恰好一個是 6，所以比值就是六分之一。

1、2、3 抽五次，第二大恰為 3 的機率：131/243

b = 3 表示五次抽取中至少有兩次是 3，所以用 1 減掉零次與一次的二項項：1 − 32/243 − 80/243 = 131/243。

1 到 10 抽 3 顆：最小為 5 的機率 1/12、最大為 5 的機率 1/20

先把 5 固定成其中一員，另外兩個從比它大的號碼裡選（C(5,2)=10）或從比它小的裡選（C(4,2)=6），再除以 C(10,3)=120 種等可能的三元組。

三點的二次迴歸方程式與 R²：為何 R² 必然是 1

對 (10,2.9)、(20,4.0)、(30,4.9) 求二次迴歸方程式與判定係數。三點三參數使最小平方解就是內插拋物線，解聯立得 y = −0.001x² + 0.14x + 1.6、殘差為 0、R² = 1，但這是結構必然而非模型好。

Tukey 法求四分位數：與排除中位數的算法比較

25 位顧客年齡資料，用 Tukey 法（中位數同時算進上下兩半）得 Q1=27、Q3=39、IQR=12；排除中位數的慣例則得 26.5 與 40.5、IQR=14。兩者都對，只是定義不同。

5.53 到 6.19 六筆資料的樣本標準差約為 0.249

樣本標準差約為 0.249，來自平均數 5.7417 與偏差平方和 0.3099。可以看到單一的高值 6.19 就提供了大部分的離散量。

第七筆報價要 19,400 美元，七筆平均才會恰為 18,500

第七筆報價必須是 19,400 美元。把目標平均數乘以 7 得所需總和 129,500，再減掉已經報過的 110,100 即可。

消去 c 解三式：a = −0.0025、b = 0.325、c = 2.9

解是 a = −0.0025、b = 0.325、c = 2.9。相鄰兩式相減即可消去 c，留下 30a + b = 0.25 與 50a + b = 0.2，於是 20a = −0.05。

把 z 分數公式 z = (x − m)/d 解出平均數：m = x − zd

整理後的公式是 m = x − zd。先兩邊同乘標準差，再把 m 孤立出來；z 為正就表示該數值落在平均數之上。

2.9、2.5、2.9 的標準差：樣本 0.2309、母體 0.1886

樣本標準差 s ≈ 0.2309，母體值 σ ≈ 0.1886。平均數 2.7667 是循環小數，所以平方之前要多留幾位。

4、8、6、5、3 的標準差：母體 1.72、樣本 1.92

母體標準差是 1.72，樣本值是 1.92。平均數 5.2、偏差平方和 14.8 — 關鍵在於要除以 n 還是 n − 1。

九筆 4.2x 量測值的標準差：母體 0.0125、樣本 0.0132

母體 σ 是 0.0125、樣本 s 是 0.0132，來自平均數 4.25 與僅 0.0014 的偏差平方和。原始資料裡的逗號是小數點，不是分隔號。

0.645、0.656、0.652 的標準差：樣本 0.005568、母體 0.004546

樣本標準差 s ≈ 0.005568，母體值 σ ≈ 0.004546。平均數恰為 0.651，三個偏差是 −0.006、+0.005 與 +0.001。

15 位受試者治療前後的樣本標準差：11.81 對 12.30

樣本標準差是 11.81 與 12.30 個百分點，平均數為 24.96 與 23.71。原表印的治療前平均 24.99 是錯的，十五個數值實際上平均為 24.96。

由 ΣX = 10、ΣX² = 60、n = 5 求平均數標準誤：根號 2 ≈ 1.414

標準誤是 1.414，因此提供的選項都不對。SS = 60 − 100/5 = 40 得 s = 3.162，再除以根號 5 就剩下根號 2。

由 ΣX = 8、ΣX² = 46、n = 4 求平均數標準誤：1.581

標準誤是 1.581。先算 SS = 46 − 8²/4 = 30，除以 n − 1 = 3 得 s = 3.162，再除以根號 4 也就是 2，就得到 1.581。

25 筆年齡的 Tukey 四分位數：Q1 = 27、Q3 = 36

Tukey 的樞紐法把中位數同時留在上下兩半，所以每半有 13 個值，四分位數就是各自的第 7 個值：27 與 36 — 而不是排除法給的 26 與 39。

z = 2.1 的雙尾 p 值約為 0.0357

p 值約為 0.0357。z = 2.1 以上的上尾面積是 0.0179，雙尾檢定要加倍，才會把 −2.1 以下的鏡像尾端也算進去。

95% 信賴區間 14 到 17 的正解：95% 的同類區間會包含 μ

它的意思是，用同樣方法做出的區間中有 95% 會涵蓋真正的平均數。14 到 17 這個區間要嘛包含 μ、要嘛不包含；信賴水準描述的是方法。

最小值 11 與最大值 47 的 z 分數：−2.133 與 1.580

z = (x − 平均數)/標準差 給出最年輕顧客 −2.133、最年長顧客 1.580。兩個 z 分數的不對稱，本身就是這份樣本左偏的證據。