一到十二月的每月水費依序為 40、42、40、38、48、50、58、62、56、46、44、44 美元。請用求和符號求全年、前六個月，以及四月到十一月的平均水費。

Step-by-step solution

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   先寫出一般化的模板。 一段連續項的平均數是

   $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=a}^{b} x_i, \qquad n = b - a + 1$

   三個小題都用同一個式子；會變的只有上下限 $a$、$b$ — 以及隨之改變的 $n$。項數一定要從上下限重新算出來，絕不能沿用上一小題的。

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   (a) 全年：$i$ 從 1 到 12。

   $\bar{x} = \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50+58+62+56+46+44+44}{12} = \frac{568}{12}$

   $= 47.3333\ldots = \$47.33$

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   (b) 前六個月：$i$ 從 1 到 6。

   $\bar{x} = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50}{6} = \frac{258}{6} = 43 = \$43.00$

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   (c) 四月到十一月：$i$ 從 4 到 11。 四月是 $x_4$，十一月是 $x_{11}$，所以 $n = 11 - 4 + 1 = 8$ — 是八個月，不是七個月。這裡的差一錯誤是經典陷阱：

   $\bar{x} = \frac{1}{8}\sum_{i=4}^{11} x_i = \frac{38+48+50+58+62+56+46+44}{8} = \frac{402}{8} = 50.25 = \$50.25$

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   拿三個總和互相檢查。 前六個月合計 $258$，第 $4$–$11$ 個月合計 $402$；全年是 $568$。一致性檢驗：第 $1$–$3$ 個月合計 $40+42+40 = 122$，第 $12$ 個月是 $44$，所以 $122 + 402 + 44 = 568$ ✓ — 這三塊恰好把一年分割完畢。

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   解讀這個模式。 天氣較熱的那一段（四月到十一月）平均 \50.25$，明顯高於全年的$$47.33$，也高於冬季比重較大的上半年$$43.00$，這與水費在七、八月達到高峰的情形吻合。