十五位受試者在治療前後各量測一次。治療前：9.7、10.8、16.0、34.7、10.9、45.6、23.4、22.9、17.6、43.7、25.4、17.0、35.7、24.7、36.3。治療後：7.8、8.8、14.8、33.2、9.2、42.5、21.8、21.4、16.4、41.5、22.8、13.0、37.8、26.5、38.2。求兩組的平均數與樣本標準差。

Step-by-step solution

1. 1

   由總和算出兩個平均數。 治療前各值合計 $374.4$，治療後合計 $355.7$，配上 $n=15$ 得

   $\bar x_{\text{治療前}}=\frac{374.4}{15}=24.96,\qquad \bar x_{\text{治療後}}=\frac{355.7}{15}=23.71\overline{3}$

   對原表的更正： 該講義把治療前的平均寫成 $24.99$，但列出的十五個數值平均其實是 $24.96$。治療後的平均 $23.71$ 則沒有問題。務必自己重加一次，不要直接相信印出來的總和。

2. 2

   選用樣本（n − 1）的公式。 這十五個人是從更大母體抽出的樣本，所以偏差平方和要除以 $n-1=14$：

   $s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^{2}}{n-1}}$

   改除以 $n$ 會低估離散程度 — 這種表格的解答稿裡一再出現這個錯誤。

3. 3

   累加治療前的偏差平方。 取 $\bar x=24.96$，偏差平方由 $(9.7-24.96)^2=232.87$ 往下到 $(24.7-24.96)^2=0.0676$、往上到 $(45.6-24.96)^2=426.01$。它們的總和為

   $\sum(x_i-\bar x)^{2}=1951.816$

4. 4

   算出治療前的標準差。

   $s_{\text{治療前}}=\sqrt{\frac{1951.816}{14}}=\sqrt{139.4154}=11.807$

5. 5

   對治療後的資料重複一次。 取 $\bar x=23.713$，偏差平方合計為 $2119.197$，所以

   $s_{\text{治療後}}=\sqrt{\frac{2119.197}{14}}=\sqrt{151.3712}=12.303$

6. 6

   寫出並解讀結果。

   $\boxed{\bar x_{\text{治療前}}=24.96,\ s_{\text{治療前}}=11.81;\qquad \bar x_{\text{治療後}}=23.71,\ s_{\text{治療後}}=12.30}$

   平均數下降了約 $1.25$ 個百分點，但離散程度略為上升，所以這項治療並沒有讓這群人變得更整齊。（作為參考，若改除以 $15$，母體標準差會是 $11.41$ 與 $11.89$。）

7. 7

   用計算公式檢查。 治療前的資料有 $\sum x=374.4$ 與 $\sum x^{2}=11296.84$，所以 $\sum x^{2}-\tfrac{(\sum x)^2}{n}=11296.84-9345.024=1951.816$ — 與上面求出的偏差平方和相符，這同時確認了平均數與平方和。