對於分數為 1、2、3 的樣本，求圍繞樣本平均數的 95% 信賴區間。

Step-by-step solution

1. 1

   先算出各項和。 $n = 3$、$\sum X = 6$、$\sum X^2 = 1 + 4 + 9 = 14$。由此得：

   $\bar{X} = \frac{6}{3} = 2, \qquad SS = 14 - \frac{6^2}{3} = 14 - 12 = 2$

2. 2

   求 $s$ 與標準誤。 把 $SS$ 除以 $n-1 = 2$：

   $s^2 = \frac{2}{2} = 1, \quad s = 1, \quad s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0.57735$

   除以 $\sqrt{n}$ 這一步非常關鍵 — 漏掉它就會得到下面那個最寬的誘答。

3. 3

   要用 $t$ 而不是 $z$，而且自由度要抓對。 $n = 3$ 時自由度為 $df = 2$，雙尾 $95\%$ 的臨界值是

   $t_{0.025,\,2} = 4.3027$

   它遠大於 $z = 1.96$；自由度只有 2 時，$t$ 分布的尾部非常厚。

4. 4

   組出區間。

   $\bar{X} \pm t\,s_{\bar{X}} = 2 \pm 4.3027 \times 0.57735 = 2 \pm 2.4841$

   $LL = -0.4841, \qquad UL = 4.4841$

   所以區間大約是 $-0.48$ 到 $4.48$。

5. 5

   與提供的選項比對。 選項 $-2.30$ 到 $6.30$、$-0.43$ 到 $3.43$、$1.20$ 到 $2.80$ 全都不對。特別是 $-2.30$ 到 $6.30$ 其實是 $2 \pm 4.3027 \times 1$ — 同一個 $t$ 值卻乘在 $s$ 而不是 $s_{\bar{X}}$ 上，也就是漏掉了 $\sqrt{3}$。既然沒有任何一個對得上 $(-0.48,\ 4.48)$，正確的回答就是**「其他選項皆非」**。

6. 6

   解讀區間的寬度。 圍繞平均數 $2$ 的區間從小於零一路延伸到將近 $4.5$，這正是 $n = 3$ 誠實的代價：三筆觀測值根本無法精確定出平均數。驗算：$4.3027 \times 0.57735 = 2.4841$，而 $2 - 2.4841 = -0.4841$、$2 + 2.4841 = 4.4841$ ✓。